En la Ec. (5.7) de su libro "Física Estadística de Campos", M. Kardar propone la identidad
$$ \langle e^{\sum_i a_ix_i} \rangle =\exp{\left[\sum_{ij}\frac{a_ia_j}{2}\langle x_ix_j \rangle\right]}\tag{5.7} $$
donde el valor esperado se toma con respecto a un conjunto $\{x_i\}$ de variables distribuidas de manera Gaussiana. Intenté demostrar esto de la siguiente manera:
$$ \begin{align} \langle e^{\sum_i a_ix_i} \rangle &\propto\prod_i\int dx_i\,e^{a_ix_i}\,e^{-b_ix_i^2}\\ &=\prod_i\int dx_i\,\exp{\left[-b_i\left(x_i^2-\frac{a_i}{b_i}\,x_i+\frac{a_i^2}{4b_i^2}\right)+\frac{a_i^2}{4b_i}\right]}\\ &=\prod_ie^{\frac{a_i^2}{4b_i}}\int dx_i \exp{\left[-b_i\left(x_i-\frac{a_i}{2b_i}\right)^2\right]}\\ &=\prod_i\sqrt{\frac{\pi}{b_i}}\,e^{\frac{a_i^2}{4b_i}}. \end{align} $$
El producto $\prod_i\sqrt{\frac{\pi}{b_i}}$ desaparecerá una vez que la distribución esté adecuadamente normalizada; es decir,
$$ \langle e^{\sum_i a_ix_i} \rangle =\prod_i e^{\frac{a_i^2}{4b_i}} $$
Por otro lado
$$ \begin{align} \langle x_i^2\rangle &\propto\prod_i\int dx_i\,x_i^2\,e^{-b_ix_i^2}\\ &=\prod_{j\ne i}\sqrt{\frac{\pi}{b_j}}\int dx_i\,x_i^2\,e^{-b_ix_i^2}\\ &=\frac{1}{2b_i}\prod_j\sqrt{\frac{\pi}{b_j}} \end{align} $$
y de manera similar
$$ \langle x_i^2\rangle =\frac{1}{2b_i}. $$
Combinando estas expresiones:
$$ \langle e^{\sum_i a_ix_i} \rangle =\prod_i\exp{\left[\frac{a_i}{2}\,\langle x_i^2\rangle\right]} =\exp{\left[\sum_i\frac{a_i}{2}\,\langle x_i^2\rangle\right]} $$
lo cual concuerda con el resultado de Kardar, excepto por los términos cruzados. Debido a la simetría par-impar de la función integranda, entiendo que estos términos cruzados $\langle x_i x_j\rangle$ desaparecerán para $i\ne j$, y que Kardar por lo tanto puede agregarlos a su identidad impunemente, pero no entiendo el motivo de hacerlo. ¿Hay una razón por la que Kardar está incluyendo estos términos, o he cometido un error en mi derivación?
