¿Cómo se determina la distancia entre dos marcos inerciales en el espacio vacío utilizando el método de radar de Bondi?

Question

He leído cómo el método de radar de Bondi se puede utilizar entre dos embarcaciones en el espacio vacío para determinar su distancia relativa y también si su distancia está aumentando o disminuyendo. ¿Se puede utilizar el método de radar de Bondi para determinar su velocidad y algunos otros detalles con respecto a la distancia?

Por ejemplo, la distancia entre las embarcaciones puede aumentar tanto si se mueven en direcciones opuestas con la misma velocidad como si una tiene mayor velocidad que la otra. O si ambas se mueven en la misma dirección con la embarcación de adelante teniendo una mayor velocidad.

Si ambas embarcaciones se mueven en la misma dirección, la de adelante se desplazará hacia el extremo rojo y también tardará más tiempo en recibir la señal ya que se aleja de ella, pero lo opuesto ocurre para la embarcación que la sigue. Verá un desplazamiento hacia el azul y, dado que se está acercando a la señal, también tardará menos tiempo en recibirla en comparación con la embarcación de adelante. Sin embargo, el tiempo del viaje de ida y vuelta de la señal aumentará para ambos en su propio marco de referencia.

¿Cómo puede cada embarcación determinar si la otra está desplazada hacia el rojo o hacia el azul?

Para la embarcación de adelante que está desplazada hacia el rojo, podría suponer que la otra embarcación se está alejando o se está moviendo en la misma dirección pero a menor velocidad.

Para la embarcación de atrás que observa un aumento en la distancia y al mismo tiempo está desplazada hacia el azul, sabría que se está moviendo más lento pero en la misma dirección si entiendo correctamente los efectos doppler.

Muchas gracias.

Answer 1

Usando el método radar del cálculo k de Bondi (por ejemplo, mi artículo https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/ como sugiere @trula), se registran las lecturas de reloj cuando el observador envía una señal y recibe su eco al dispersarse en un evento distante.

• Para simplificar, asumamos que las trayectorias de los astronautas inerciales Alice y Bob son coplanares. Entonces, si sus trayectorias son paralelas, nunca se encuentran y presumiblemente tendrían una distancia constante que los separa. De lo contrario, se encuentran o se encontrarán momentáneamente en un evento común O, y por lo tanto tienen una velocidad relativa no nula.

• Cuando el reloj de Alice marca $t_{1s}$, ella envía una señal y recibe un eco en $t_{1r}$, reflejándose en un evento distante $P$ en la trayectoria inercial de Bob. Para $P$, Alice asigna una coordenada temporal $$t_P=(t_{1r}+t_{1s})/2\qquad \mbox{[el tiempo de mitad]}$$ y una coordenada de posición [dividida por c] $$x_P/c=(t_{1r}-t_{1s})/2\qquad\mbox{[la mitad del tiempo de ida y vuelta]}$$

• En un momento posterior, ella envía otra señal y registra las lecturas de reloj, y asigna coordenadas a otro evento $Q$ en la trayectoria inercial de Bob. $$t_Q=(t_{2r}+t_{2s})/2\qquad x_Q/c=(t_{2r}-t_{2s})/2.$$

Luego, Alice puede definir los desplazamientos espaciales y temporales $$\Delta x_{PQ}=x_Q-x_P$$ $$\Delta t_{PQ}=t_Q-t_P$$ y la velocidad relativa de Bob, según Alice, $$v_{Bob\ respecto\ a\ Alice}=\frac{\Delta x_{PQ}}{\Delta t_{PQ}},$$ que todo puede expresarse en términos de las lecturas de reloj $t_{1s}$, $t_{1r}$, $t_{2s}$ y $t_{2r}$.

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• Si $\Delta x_{PQ}=0$, entonces $x_Q=x_P$ (es decir, $(t_{2r}-t_{2s})/2=(t_{1r}-t_{1s})/2$), los astronautas inerciales están en reposo uno respecto al otro. De otra forma, tenemos $$\Delta t_r \equiv (t_{2r}-t_{1r}) \stackrel{reposo\ relativo}{=} (t_{2s}-t_{1s}) \equiv \Delta t_s,$$ donde definimos los tiempos transcurridos entre recepciones (el período entre recepciones) y entre transmisiones (el período entre transmisiones).

• Si $\Delta x_{PQ}>0$, entonces $x_Q>x_P$ (es decir, $(t_{2r}-t_{2s})/2>(t_{1r}-t_{1s})/2$), los astronautas inerciales se están separando. De otra forma, tenemos $$\Delta t_r \stackrel{separación}{>}\Delta t_s.$$ Esto se expresa como $$\Delta t_r =k^2 \Delta t_s,\qquad \mbox{donde $k>1$ para separación [corrimiento al rojo]}.$$

• Similarmente, $$\Delta t_r =k^2 \Delta t_s,\qquad \mbox{donde $0

• El caso de reposo relativo se puede expresar como $$\Delta t_r =k^2 \Delta t_s,\qquad \mbox{donde $k=1$ para reposo relativo [sin corrimiento]}.$$

(El factor $k$ está al cuadrado porque hay dos factores Doppler en este proceso.)

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Con algo de álgebra, se puede demostrar que $$k_{Bob\ respecto\ a\ Alice}=\sqrt{\frac{1+v_{Bob\ respecto\ a\ Alice}}{1-v_{Bob\ respecto\ a\ Alice}}}$$ es el factor Doppler (el factor k de Bondi). El Principio de Relatividad implicará que $$k_{Bob\ respecto\ a\ Alice}=k_{Alice\ respecto\ a\ Bob}$$ así que simplemente llamaremos a cada lado $k$ por simplicidad.
Y $k$ puede expresarse en términos de las cuatro lecturas de reloj $t_{1s}$, $t_{1r}$, $t_{2s}$, y $t_{2r}$.

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Se podría introducir una tercera trayectoria inercial para estudiar las otras dos. Es más simple si este observador inercial mide a los otros observadores moviéndose en la misma dirección [o de lo contrario tendrías que manejar todas las diferencias de signos que surgen].

Además, luego se pueden derivar las ecuaciones para el impulso de Lorentz y para la ley de composición de velocidades.

Vea mi https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/ para más detalles.

Answer 2

Dado que ambos barcos se mueven a velocidad constante, es más fácil tomar uno como sistema de referencia que no se está moviendo, y simplemente dibujar los diagramas apropiados con el factor k de Bondi y analizar los resultados. tal vez puedes echar un vistazo a https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/