Usando el método radar del cálculo k de Bondi (por ejemplo, mi artículo https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/ como sugiere @trula), se registran las lecturas de reloj cuando el observador envía una señal y recibe su eco al dispersarse en un evento distante.
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Para simplificar, asumamos que las trayectorias de los astronautas inerciales Alice y Bob son coplanares. Entonces, si sus trayectorias son paralelas, nunca se encuentran y presumiblemente tendrían una distancia constante que los separa. De lo contrario, se encuentran o se encontrarán momentáneamente en un evento común O, y por lo tanto tienen una velocidad relativa no nula.
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Cuando el reloj de Alice marca $t_{1s}$, ella envía una señal y recibe un eco en $t_{1r}$, reflejándose en un evento distante $P$ en la trayectoria inercial de Bob. Para $P$, Alice asigna una coordenada temporal $$t_P=(t_{1r}+t_{1s})/2\qquad \mbox{[el tiempo de mitad]}$$ y una coordenada de posición [dividida por c] $$x_P/c=(t_{1r}-t_{1s})/2\qquad\mbox{[la mitad del tiempo de ida y vuelta]}$$
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En un momento posterior, ella envía otra señal y registra las lecturas de reloj, y asigna coordenadas a otro evento $Q$ en la trayectoria inercial de Bob. $$t_Q=(t_{2r}+t_{2s})/2\qquad x_Q/c=(t_{2r}-t_{2s})/2.$$
Luego, Alice puede definir los desplazamientos espaciales y temporales $$\Delta x_{PQ}=x_Q-x_P$$ $$\Delta t_{PQ}=t_Q-t_P$$ y la velocidad relativa de Bob, según Alice, $$v_{Bob\ respecto\ a\ Alice}=\frac{\Delta x_{PQ}}{\Delta t_{PQ}},$$ que todo puede expresarse en términos de las lecturas de reloj $t_{1s}$, $t_{1r}$, $t_{2s}$ y $t_{2r}$.
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Si $\Delta x_{PQ}=0$, entonces $x_Q=x_P$ (es decir, $(t_{2r}-t_{2s})/2=(t_{1r}-t_{1s})/2$), los astronautas inerciales están en reposo uno respecto al otro. De otra forma, tenemos $$\Delta t_r \equiv (t_{2r}-t_{1r}) \stackrel{reposo\ relativo}{=} (t_{2s}-t_{1s}) \equiv \Delta t_s,$$ donde definimos los tiempos transcurridos entre recepciones (el período entre recepciones) y entre transmisiones (el período entre transmisiones).
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Si $\Delta x_{PQ}>0$, entonces $x_Q>x_P$ (es decir, $(t_{2r}-t_{2s})/2>(t_{1r}-t_{1s})/2$), los astronautas inerciales se están separando. De otra forma, tenemos $$\Delta t_r \stackrel{separación}{>}\Delta t_s.$$ Esto se expresa como $$\Delta t_r =k^2 \Delta t_s,\qquad \mbox{donde $k>1$ para separación [corrimiento al rojo]}. $$
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Similarmente, $$\Delta t_r =k^2 \Delta t_s,\qquad \mbox{donde $0
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El caso de reposo relativo se puede expresar como $$\Delta t_r =k^2 \Delta t_s,\qquad \mbox{donde $k=1$ para reposo relativo [sin corrimiento]}. $$
(El factor $k$ está al cuadrado porque hay dos factores Doppler en este proceso.)
Con algo de álgebra, se puede demostrar que $$k_{Bob\ respecto\ a\ Alice}=\sqrt{\frac{1+v_{Bob\ respecto\ a\ Alice}}{1-v_{Bob\ respecto\ a\ Alice}}}$$ es el factor Doppler (el factor k de Bondi). El Principio de Relatividad implicará que $$k_{Bob\ respecto\ a\ Alice}=k_{Alice\ respecto\ a\ Bob}$$ así que simplemente llamaremos a cada lado $k$ por simplicidad.
Y $k$ puede expresarse en términos de las cuatro lecturas de reloj $t_{1s}$, $t_{1r}$, $t_{2s}$, y $t_{2r}$.
Se podría introducir una tercera trayectoria inercial para estudiar las otras dos. Es más simple si este observador inercial mide a los otros observadores moviéndose en la misma dirección [o de lo contrario tendrías que manejar todas las diferencias de signos que surgen].
Además, luego se pueden derivar las ecuaciones para el impulso de Lorentz y para la ley de composición de velocidades.
Vea mi https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/ para más detalles.
