Parte real acotada luego singularidad removible

Question

$f(z)$ es analítica en $R<|z|<+\infty$, y $|\mathrm{Re}f(z)|\leq M$. La expansión de la serie de Laurent es $$f(z)=\varphi(z)+\psi(z),$$ donde $\varphi(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$ es la parte principal de $f(z)$ en $\infty$. Muestra que $\mathrm{Re} \varphi(z)$ está acotado, y luego prueba que $\varphi(z)$ es constante, por lo que $\infty$ es una singularidad removible de $f(z)$.

Answer 1

Sugerencias:

1) ¿Qué sabes sobre el comportamiento de $\psi(z)$ cuando $|z| \to \infty$?

2) ¿Conoces el teorema de Casorati-Weierstrass?