Soluciones integrales para $a^3x^3+a^2x^2+ax+a=0$.

Question

Tengo que determinar todos los posibles valores no nulos $a\in\Bbb{Z}$ para los cuales la ecuación siguiente tiene una solución integral $x\in\Bbb{Z}$. Supongo que es una ecuación funcional.

Esta es la ecuación:

$$a^3x^3 + a^2x^2 + ax + a = 0$$

Hasta ahora he hecho lo siguiente:

$$a(a^2x^3 + ax^2 + x + 1) =0 $$

$$a^2x^3 + ax^2 + x + 1 = 0$$

Si sigo el comentario abajo, el teorema raíz racional dice que $a_0$ es divisible por $p$ y $a_n$ es divisible por $q$

Así que obtengo:

$a^2 = p$

$1 = q$

Porque:

$x_0=\tfrac{p}{q}$

mientras que:

$p,q \in\Bbb{Z}$

Entonces:

$x_0 =\tfrac{a^2}{1}$

Todos los divisores numéricos enteros de

$\tfrac{a^2}{1}$

lo cual es lo mismo que $a^2$,

son soluciones posibles. Todavía no entiendo cómo continuar.

Answer 1

Estás en el camino correcto, pero has aplicado mal el teorema de la raíz racional; si $$a^2x^3+ax^2+x+1=0,$$ donde $a$ es un número entero y $x$ es racional, entonces si $x=\frac{p}{q}$ está en su forma más reducida entonces $p$ divide a $1$ y $q$ divide a $a^2$. Esto significa que $p=\pm1$ y $x$ es un número entero si y solo si también $q=\pm1$, en cuyo caso $x=\pm1$. Ahora la pregunta es; ¿para qué valores de $a$ la ecuación tiene una raíz $\pm1$?

Answer 2

Pista Reduce la ecuación derivada $$a^2 x^3 + a x^2 + x + 1 = 0$$ módulo $x$. (NB $x = 0$ nunca da una solución.)

Esto deja $$1 \equiv 0 \pmod x,$$ entonces $x = \pm 1$. Sustituye ambas posibilidades en la ecuación derivada y comprueba si la ecuación resultante tiene alguna solución entera (distinta de cero) para $a$.