El espacio de bucles tiene todos los grupos de homotopía abelianos $i \geq 1$, hecho a través de conjuntos simpliciales

Question

Este es un prueba de Goerss-Jardine (p.31):

¿Qué quieren decir con la multiplicación $\star$? ¿Debería pensar en $\pi_n(\Omega X, *)$ como $1$ símplices en $\mathsf{sSet}(\Delta^n, X)$? Para hacer mis cosas de homotopía, necesito un complejo de Kan. Ahora estoy trabajando con el subconjunto de estos que dan el mapa constante en la identidad cuando precompongo con cualquier mapa cofaz. ¿Debo tratar de mostrar de alguna manera que este subconjunto es Kan (similar a cómo $\Omega X$ es Kan)? Algunos bocetos de diagramas no me llevaron allí.

Answer 1

Como señaló el usuario Kevin Carlson, el espacio en el que estamos interesado es Kan porque es una fibra de la fibración $\mathsf{sSet}(\Delta^n, X) \to \mathsf{sSet}(\partial \Delta^n, X)$.