Existencia del operador adjunto en el espacio euclidiano

Question

Si definimos el operador adjunto del operador lineal $A:E\to E$, donde $E$ es un espacio euclidiano complejo o real, de dimensión $n$ o $\infty$, como el operador $A^\ast:E\to E$ tal que $\forall x,y\in E\quad \langle Ax,y\rangle=\langle x,A^\ast y\rangle$, me pregunto si para cualquier $A$ existe el adjunto. Si existe, ¿cómo podemos demostrarlo?

En el caso de que exista, pienso -por favor corríjame si me equivoco- que es único como en el caso del operador adjunto del operador lineal $A:E\to E_1$, con $E$ un espacio de Banach, definido como $A^\star: E_1^\star\to E^\star$, $f\mapsto f\circ A$.

¡Muchas gracias por cualquier respuesta!

Answer 1

Por los comentarios, parece que por "espacio euclidiano" te refieres a "espacio de Hilbert". Llamémoslo $H$.

Ciertamente es cierto que para cualquier operador lineal acotado $A: H \to H$, existe el mapa adjunto. Es realmente lo mismo que para los espacios de Banach: define el operador lineal $A^*$ en $H^*$ a través de $A^* f = f \circ A$, y luego usa el teorema de representación de Riesz para identificar $H^*$ con $H.

Más explícitamente: para cada $y \in H$, el mapa $x \mapsto \langle Ax, y \rangle$ es un funcional lineal continuo en $H$. Por el teorema de representación de Riesz, existe un único $z_y \in H$ tal que $\langle Ax, y \rangle = \langle x, z_y \rangle$. Define $A^*$ como el mapa que lleva a $y$ a este $z_y determinado de manera única. Luego es una verificación fácil que $A^*$ es lineal y acotado, y $\langle Ax, y \rangle = \langle x, A^* y \rangle$ se cumple por construcción.

Si $A$ es un operador lineal no acotado en $H$ con dominio denso $D(A)$, también podemos definir un adjunto $A^*$ como un operador no acotado. Dejamos que $D(A^*)$ sea el conjunto de todos los $y$ tales que el mapa $x \mapsto \langle Ax, y \rangle$ es un funcional lineal continuo en $D(A) \subset H$, que por continuidad uniforme se extiende de manera única a un funcional lineal continuo en $H$. Entonces para tal $y$ podemos definir $A^* y$ tal como antes. Es un ejercicio mostrar que $A^*$ es un operador cerrado, y está densamente definido si y solo si $(A, D(A))$ es cerrable.