Una duda sobre la fórmula para actualizar los pesos en el Muestreo de Importancia Secuencial en un modelo de Espacio de Estados

Question

Sea $x_{0:t}^{(i)}$ los estados desde el tiempo $0$ hasta $t$ de la muestra $i$. De manera similar para las observaciones $y_{1:t}$.

Los pesos normalizados se actualizan de acuerdo a

¿De dónde proviene el término $p(y_t|x_t^{(i)})$? $\pi$ es la distribución de propuesta/importancia, y $p$ la distribución verdadera.

A partir de la fórmula de peso no normalizado:

$$\omega^{(i)}_t=\frac{p(x_{0:t}^{(i)}|y_{1:t})}{\pi(x_{0:t}^{(i)}|y_{1:t})}= \frac{p(x_{0:t-1}^{(i)}|y_{1:t})p(x_{t}^{(i)}|x_{0:t-1}^{(i)},y_{1:t})}{\pi(x_{0}^{(i)})\prod_k^{t-1} \pi(x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{1:k})\pi(x_{t}^{(i)}|x_{0:t-1}^{(i)},y_{1:t})}=\omega^{(i)}_{t-1}\frac{p(x_{t}^{(i)}|x_{t-1}^{(i)})}{\pi(x_{t}^{(i)}|x_{0:t-1}^{(i)},y_{1:t})}$$

Pero no logro conseguir ese término

Answer 1

Algo como esto: \begin{align*} \omega^{(i)}_t &=\frac{p(x_{0:t}^{(i)}|y_{1:t})}{\pi(x_{0:t}^{(i)}|y_{1:t})} \\ &\propto \frac{p(x_{0:t}^{(i)}, y_{1:t})}{\pi(x_{0:t}^{(i)}|y_{1:t})} \\ &= \frac{p(y_t \mid x_{1:t}^{(i)},y_{0:t-1}) p(x_{t}^{(i)}\mid x_{0:t-1}^{(i)}, y_{1:t-1})p(x_{0:t-1}^{(i)}, y_{1:t-1})}{\pi(x_{0:t}^{(i)}|y_{1:t})} \\ &= \frac{p(y_t \mid x_{t}^{(i)}) p(x_{t}^{(i)}\mid x_{t-1}^{(i)})p(x_{0:t-1}^{(i)}, y_{1:t-1})}{\pi(x_{0:t}^{(i)}|y_{1:t})} \\ &= \frac{p(y_t \mid x_{t}^{(i)}) p(x_{t}^{(i)}\mid x_{t-1}^{(i)})p(x_{0:t-1}^{(i)}, y_{1:t-1})}{\pi(x_{t}^{(i)} \mid x_{0:t-1}^{(i)},y_{1:t})\pi(x_{0:t-1}^{(i)}|y_{1:t-1})} \\ &= \frac{p(y_t \mid x_{t}^{(i)}) p(x_{t}^{(i)}\mid x_{t-1}^{(i)})}{\pi(x_{t}^{(i)} \mid x_{0:t-1}^{(i)},y_{1:t})} \omega^{(i)}_{t-1} \end{align*}

Answer 2

$$w(x_{0:t}^{(i)})=\frac{p(x_{0:t-1}^{(i)}|y_{1:t-1})p(y_t|x_{t}^{(i)})p(x_{t}^{(i)}|x_{t-1}^{(i)})}{\pi(x_{0:t-1}^{(i)}|y_{1:t-1})\pi(x_{t}^{(i)}|x_{0:t-1}^{(i)},y_{1:t-1})p(y_t|y_{t-1})}\propto w(x_{0:t}^{(i)}) \frac{p(y_t|x_{t}^{(i)})p(x_{t}^{(i)}|x_{t-1}^{(i)})}{\pi(x_{t}^{(i)}|x_{0:t-1}^{(i)},y_{1:t-1})}$$