Me gusta pensar en hélices en cilindros como imágenes de líneas bajo un enrollado plano, así que aquí hay un enfoque que incorpora esa idea.
Imagina el círculo rodando por una línea dibujada en el plano, con $P$ como el punto de tangencia a lo largo de la línea y $Q$ un punto distinguido en la circunferencia del círculo. (Entonces, $Q$ traza una cicloide en el plano). Ahora, imagina que el plano está hecho de papel delgado, pero el círculo está hecho de cartón rígido. Si enrollamos el plano en un cilindro pero el círculo permanece plano, el plano del círculo será tangente al cilindro a lo largo de la línea (vertical) que pasa por el punto $P$. El punto $P$ seguirá una hélice y el punto $Q$ --que yace en el plano del círculo-- traza la cicloide helicoidal en el espacio. Mientras que la trayectoria que toma $P$ (y $Q$) es decididamente diferente después de enrollar que antes, el vector de desplazamiento entre $P$ y $Q$ en el plano del círculo es el mismo en todo momento.
Antes de enrollar, si el círculo de radio $r$ rueda a lo largo de una pista horizontal en el plano $uv$, entonces tenemos $P=(r t, 0)$, y el punto $Q$ traza la cicloide estándar:
$$\begin{align} u &= r ( t - \sin t ) \\ v &= r ( 1 - \cos t ) \end{align}$$
El vector de desplazamiento de $P$ a $Q$ en el tiempo $t$ está dado por
$$d := PQ = [m, n] = r[-\sin t, 1 - \cos t ] = - 2 r \sin\frac{t}{2} \; [\cos\frac{t}{2},-\sin\frac{t}{2}]$$
Rotando el plano a través de un ángulo, digamos $\theta := \rm{atan\frac{c}{a}}$, y escribiendo $b$ para $\sqrt{a^2+c^2}$, el punto de tangencia del círculo a lo largo de la pista inclinada está dado por ...
$$P_2 = (r t \cos\theta,r t \sin\theta) = \left( \frac{r t a}{b}, \frac{r t c}{b}\right)$$
... y el vector de desplazamiento, $d_2$, al punto $Q_2$ que traza la cicloide inclinada está dado por ...
$$\begin{align} d_2 :&= [m \cos\theta - n \sin \theta, m \sin\theta + n \cos \theta ] \\ &= \frac{1}{b} [a m - c n, c m + a n] \\ &= -\frac{2r}{b}\sin\frac{t}{2}\left[\cos\left(\theta-\frac{t}{2}\right), \sin\left(\theta - \frac{t}{2} \right) \right] \\ \end{align}$$
Ahora la parte divertida: Enrollar el plano $(u,v)$ alrededor de un cilindro de radio $a$, de manera que el origen $uv$ se alinee con el punto $xyz$ $(a,0,0)$ y el eje $v$ sea paralelo al eje $z$. La pista enrollada e inclinada coincidirá con una hélice. La distancia horizontal recorrida por $P_2$ en el plano se convierte en la longitud del arco circular horizontal recorrido por $P_3$ alrededor del cilindro; al dividir por el radio, $a$, del cilindro, esta longitud se convierte en la "distancia" angular --$s := \frac{rt}{b}$-- recorrida por $P_3$; las distancias verticales coinciden. Por lo tanto:
$$P_3 = \left(a\cos s, a\sin s, \frac{rtc}{b} \right)=(a\cos s,a\sin s,c s)$$
En cuanto al vector de desplazamiento: La dirección $u$ del plano tangente coincide con el vector horizontal tangente al cilindro en $P_3$; la dirección $v$ coincide con la dirección $z$. Así, la transformación de coordenadas $uv$ a coordenadas $xyz$ está dada por
$$[1,0]\to[-\sin s, \cos s, 0]\hspace{0.5in}[0,1]\to[0,0,1]$$
La imagen, $d_3$, del vector de desplazamiento $d_2$, entonces, es
$$d_3 = -\frac{2r}{b}\sin\frac{t}{2}\left[-\sin s \cos\left(\theta-\frac{t}{2}\right), \cos s \cos\left(\theta-\frac{t}{2}\right), \sin\left(\theta - \frac{t}{2} \right) \right] $$
y la trayectoria de $Q_3$, que traza la cicloide helicoidal, está dada por
$$ Q_3 = P_3 + d_3 = \left\{ \begin{align} x &= a \cos s &+ \frac{2 r}{b} \sin s \sin\frac{bs}{2r} \cos\left(\theta-\frac{bs}{2r}\right)\\ y &= a \sin s &- \frac{2 r}{b} \cos s \sin\frac{bs}{2r} \cos\left(\theta-\frac{bs}{2r}\right)\\ z &= c s &- \frac{2 r}{b} \sin\frac{b s}{2r}\sin\left(\theta-\frac{bs}{2r}\right) \end{align} \right. $$
Aquí hay una imagen con $a=c=1$ y $r=1/2":
Nota: Lo anterior no simplemente enrolla la cicloide plana alrededor del cilindro. Dado que
$$x^2 + y^2 = a^2 + \frac{4r^2}{b^2} \sin^2\frac{bs}{2r} \cos^2\left(\theta-\frac{bs}{2r}\right) \ge a^2$$
vemos que la mayor parte de la cicloide helicoidal yace fuera de la superficie del cilindro.
