Supongamos que $(X,\mathcal F)$ es un espacio medible y $\mu$ y $\nu_n,n\in\Bbb N$ son medidas no negativas en $(X,\mathcal F)$ tal que $\mu\perp\nu_n,\forall n\in\Bbb N.$ Demuestra que $\displaystyle\mu\perp\sum_{n=1}^\infty\nu_n.$
Mi intento:
Dado que $\mu$ y $\nu_n,n\in\Bbb N$ son no negativas, $$\mu\perp\nu_n,\forall n\in\Bbb N\Leftrightarrow \forall n\in\Bbb N,\exists E_n,F_n\in\mathcal F,E_n\cap F_n=\emptyset\land (\mu(F_n^c)=\nu_n(E_n^c)=0)\land (\mu(E_n)=\nu_n(F_n)=0)$$ y, por la misma razón, debo mostrar que hay conjuntos disjuntos $E,F\in\mathcal F$ tales que $\displaystyle \mu(F^c)=\left(\sum_{n=1}^\infty\nu_n\right)(E^c)$ y $\mu(E)=\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\nu_n\right)(F)=0$ Sea $$\begin{aligned}E:&=\bigcup_{n=1}^\infty E_n\\F:&=\bigcap_{n=1}^\infty F_n.\end{aligned}$$ Entonces, $$\begin{aligned}E_n\cap F_n&=\emptyset,\forall n\in\Bbb N\\\Rightarrow E_n\cap F&=\emptyset,\forall n\in\Bbb N\\\Rightarrow E\cap F&=\emptyset\end{aligned}$$ y $$\begin{aligned}\left(\sum_{n=1}^\infty\nu_n\right)\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)^c\right)&=\left(\sum_{n=1}^\infty\nu_n\right)\left(\bigcap_{n=1}^\infty E_n^c\right)\\&\le\sum_{n=1}^\infty\nu_n\left(E_n^c\right)\\&=0\\\Rightarrow\left(\sum_{n=1}^\infty\nu_n\right)(E)&=0\\\mu\left(\left(\bigcap_{n=1}^\infty F_n\right)^c\right)&=\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty F_n^c\right)\\&\le\sum_{n=1}^\infty\mu\left(F_n^c\right)\\&=0\\\Rightarrow\mu(F)&=0.\end{aligned}$$ Dado que tanto $\mu$ como $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\nu_n$ son no negativas, $\displaystyle\mu\perp\sum_{n=1}^\infty\nu_n.$
¿Es válida mi respuesta y/o hay algo que debería haber hecho de manera diferente?
