Mostrar que un subconjunto denso y numerable $D \subset X$ no es un $G_{\delta}$

Question

Dado $X$ un espacio métrico completo sin puntos aislados y $D \subset X$ un subespacio denso y numerable, mostrar que $D$ no es un $G_{\delta}$.

Estoy bastante perdido al intentar usar la hipótesis del problema para completar la prueba.

Dado que $X$ no tiene puntos aislados, para cada $x \in X$, $\operatorname{int}(\{x\})=\emptyset$. También sé que $D$ es denso y numerable, y creo que debería usar (quizás) el Teorema de la Categoría de Baire. Sin embargo, no logro avanzar. ¿Alguna pista?

Answer 1

Supongamos que $D = \bigcap_{n\in \mathbb{N}} U_n$, donde los $U_n$ son conjuntos abiertos. Entonces cada $U_n$ es denso ya que contiene el conjunto denso $D$.

Además, podemos escribir $X \backslash D = \bigcap_{x \in D} X \backslash \{x\}$, y cada conjunto $X \backslash \{x\}$ es abierto y denso ya que cada $x \in D$ no es un punto aislado.

Por lo tanto, $$\emptyset = D \cap (X \backslash D) = \bigg( \bigcap_{n \in \mathbb{N}}U_n \bigg)\cap\bigg( \bigcap_{x \in D} X \backslash \{x\} \bigg)$$ que es la intersección contable de conjuntos abiertos densos (ya que $D$ es contable).

Pero Baire dice que la intersección contable de subconjuntos abiertos densos de $X$ no puede ser vacía, lo cual contradice la expresión anterior.

Answer 2

Pista: El complemento de $D$ es la unión numerable de conjuntos de densidad nula.

Answer 3

Si $D$ es un conjunto $G_\delta$, entonces $D$ es polaco. Por lo tanto, $D$ es de segunda categoría, esto es una contradicción, $D$ es escaso por ser contable.