Para cada $x$ positivo $\in \mathbb{R}$ y para cada $y \in\mathbb{R}$ existe un $n \in \mathbb{N}$ tal que $y < nx$

Question

No estoy segura de dónde está la conexión. He demostrado lo siguiente:

Lema 1: Para cada $z \in \mathbb{R}$, existe un $n \in \mathbb{N}$ tal que $z < n$.

Mi profesor dijo que la demostración requiere alguna manipulación algebraica y una aplicación del Lema 1. Quería abordar la prueba como una demostración por casos. Solo tengo los axiomas de Campo, los axiomas de Campo Ordenado, la Definición de Cota Superior, la Definición de Máximo y la Definición de Cota Superior Mínima. No estoy segura de lo que quería decir con manipulación algebraica y he estado dudando en comenzar la prueba.

Answer 1

Dado que mi comentario no aclaró completamente tu pregunta, te doy una respuesta completa.

Tu lema establece que para cada $z\in\mathbb{R}$ existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $z.

Esto implica que para un número real positivo $x>0$, se cumple la desigualdad $zx bajo las mismas premisas.

Ahora, sea $y\in\mathbb{R}$ un número real y $x>0$. Entonces podemos encontrar una descomposición de $y=zx$ en un producto de un número positivo $x$ y un número real $z=y\cdot x^{-1}$. Por lo tanto, podemos usar la variante de tu lema anterior que establece $$y = zx< nx \; .$$Así, para cada $y\in\mathbb{R}$ y cada número positivo $x>0$, existe un número natural $n\in\mathbb{N}$ tal que $y.