Piezas de divergente serie divertimento.

Question

Sea $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ dos secuencias decrecientes de números positivos. Suponga que ambos $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\infty,\text{ }\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\infty.$$

Sea $I\subset\mathbb{N}$ y defina $$c_n:=\begin{cases}a_n,&\text{ para }n\in I\\b_n,&\text{ para }n\notin I.\end{cases}$$

¿Podemos tener $$\sum_{n=1}^{\infty}c_n<\infty?$$

Answer 1

La respuesta es sí, y lo siguiente es un ejemplo.

Sea $S_{-1}=0$ y para $n\ge 0$, sea $$S_n=\sum_{k=0}^n 2^{2^k}. $$ Para todo $n\ge 0$, sea $$I_n=\{k\in\Bbb N: S_{n-1}