Para empezar, ¿cuál es la longitud de una línea de x=a a x=b? Si tomaras un trozo de cuerda y lo colocaras sobre la trama de la línea de a a b, ¿cuánto mediría? Para una línea, la longitud de a a b es la misma que la de 0 a b-a. Lo que es simplemente la longitud de 0 a 1, multiplicada por b-a. Ten en cuenta que estas líneas son un caso especial, pero hablaré de eso más tarde. Entonces, en el caso de una línea mx+c, la longitud es sqrt(1+m^2)*(b-a). Así que eso es un segmento de línea, pero el verdadero problema es encontrar una forma de hacerlo para cualquier función, como x^2. Si se te da un límite inferior a, un límite superior b, y un polinomio c+dx+ex^2+fx^3… ¿puedes encontrar la longitud de la trama de ese polinomio de a a b? Puedes aproximar cualquier función con un montón de segmentos de línea. Cuantos más segmentos de línea añadas, mejor será la aproximación, por eso etiqueto esto como cálculo.
Respuestas
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Primero, observe la diferencia entre una 'línea', que suele ser recta, y una 'curva', que puede ser efectivamente cualquier forma continua. La longitud de un segmento de línea se expresa fácilmente por la distancia Euclidiana entre los dos puntos. En un plano 2D, esto es simplemente $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$. Para una curva, la longitud se llama la longitud de arco, que tiene numerosas fórmulas, dependiendo de cómo se exprese la curva. Como correctamente supusiste, la longitud de arco se puede encontrar sumando segmentos de línea infinitesimales (es decir, integración) por lo que esto está en el ámbito del cálculo. La longitud de arco de una curva expresada por $y=f(x)$, entre $x=a$ y $x=b$ es $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm{d}x$ pero para muchas curvas, la longitud de arco no tiene una solución en forma cerrada.
Para una curva descrita por una ecuación
$$y=f(x),$$ la longitud del arco está dada por la integral
$$\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx$$
(esperando que hayas oído hablar de integrales).
Desafortunadamente, esta integral rara vez tiene una expresión en forma cerrada. En el caso de un polinomio cuadrático $y=px^2+qx+r$,
$$\int_a^b\sqrt{1+(2px+q)^2}\,dx=\left.\frac{(q+ 2px) \sqrt{1 + (q+ 2px)^2} + \text{arsinh}(q+ 2 px)}{4p}\right|_a^b.$$
Para grados superiores, necesitas funciones especiales, como integrales elípticas, o métodos numéricos, como la regla de Simpson.
