¿Es verdad que $A\overset{\exists!f}{\to}B\overset{\exists!g}{\to}C\Rightarrow A\overset{\exists!h=g\circ f}{\to} C$?

Question

Para demostrar que dos coproductos $P_1,P_2$ de $A,B$ son isomorfos, uno utiliza que $\exists!f:P_1\to P_2$, $\exists!g:P_2\to P_1$ de alguna manera significa que $\exists!h=g\circ f:P_1\to P_1$ (ver esto para la prueba). Sin embargo, no entiendo por qué esto es cierto. En general, no veo por qué se cumple lo siguiente (y de hecho no creo que sea verdad): $$A\overset{\exists!f}{\to}B\overset{\exists!g}{\to}C\Rightarrow A\overset{\exists!h=g\circ f}{\to} C$$

La razón por la que encuentro esto dudoso es porque no todos los mapas $h:A\to C$ tienen que surgir de la composición de mapas $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Sin embargo, este es el resultado que parece ser utilizado implícitamente en la prueba de los coproductos siendo isomorfos.

Cualquier ayuda para aclarar esto sería muy apreciada.

Answer 1

Es cierto que solo porque haya exactamente un mapa $A\to B$ y exactamente un mapa $B\to C$ no implica que solo haya un mapa de $A\to C$. Sin embargo, eso no es lo que se está utilizando en el argumento al que te refieres. Más bien, hay un mapa único $P_1\to P_1$ porque $P_1$ es un coproducto (aquí estás tomando $X=P_1$ en la definición de coproducto).

(Aquí, como en la pregunta, "mapa único" significa "mapa único que conmuta con los mapas especificados de $A$ y $B".)