Demuestra que el conjunto $\{Ax: x\geq 0\in\mathbb{R}^n\}$ es un cono cerrado y convexo.
No tengo problema en demostrar que el conjunto es convexo, el problema surge cuando intento demostrar que es cerrado. Estoy atascado.
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bubba
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Supongo que $A$ es una matriz $m \times n$.
Sea $P$ el cono positivo en $\mathbb{R}^m$, es decir, $P = \{x \in \mathbb{R}^m : x_i \ge 0 \text{ para } i = 1,2,\ldots,m\}$. Luego $P$ es cerrado, ya que es la intersección de un número finito de semiespacios cerrados.
Define una aplicación $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ como $f(x) = Ax$. El conjunto en el que estás interesado es $f^{-1}(P)`, creo. Dado que $P$ es cerrado y $f$ es continua, $f^{-1}(P)$ también es cerrado.
Leon Katsnelson
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Aquí tienes una forma:
Sea $\operatorname{cono} S = \{ \sum_k \lambda_k s_k | \lambda_k \ge 0, s_k \in S \}$, donde las sumas son sobre conjuntos finitos de índices. Es directo comprobar que $\operatorname{cono} S$ es un cono convexo.
El problema es demostrar que $\operatorname{cono} \{ A e_1,\cdots, A e_n \}$ es cerrado.
En general, incluso si $S \subset \mathbb{R}^n$ es cerrado (o compacto), el conjunto $\operatorname{cono} S$ no es necesariamente cerrado. Por ejemplo, tenemos $\operatorname{cono} \overline{B}(e_1,1) = \{x | x_1 >0 \} \cup \{0\}$ que no es cerrado.
Si $S$ es finito, sin embargo, $\operatorname{cono} S$ es cerrado. La siguiente demostración está inspirada en el Lema 2.6 en el Apéndice de "Introducción al minimax" de Dem'yanov & Malozemov.
Sea $K = \operatorname{cono} \{b_1,...,b_p \}$.
Primero supongamos que los $b_k$ son linealmente independientes, entonces si dejamos $B= \begin{bmatrix} b_1 \cdots b_p \end{bmatrix}$, hay un $c>0$ tal que $\|Bx\| \ge c \|x\|$.
Supongamos que $y_k \in K$ tal que $y_k \to y$. Tenemos $y_k = B x_k$ para algún $x_k \ge 0$ y dado que los $y_k$ están acotados, vemos que los $x_k$ están acotados y por tanto tomando una subsecuencia y renumerando según sea necesario, tenemos $x_k \to x$ para algún $x \ge 0$. Por continuidad, tenemos $y=Bx$ y por tanto $y \in K.
Para tratar con el caso general, necesitamos un resultado técnico que es esencialmente una versión del teorema de Carathéodory para conos. Supongamos que $x \in K \setminus \{0\}$ y $x= \sum_{k \in I} x_k b_k$ tal que $x_k >0$ para $k \in I$. Si los $\{b_k\}_{k \in I}$ son linealmente dependientes, hay algún $\alpha \neq 0$ tal que $\sum_{k \in I} \alpha_k b_k = 0$. Por lo tanto podemos escoger algún $\mu$ tal que $x_k + \mu \alpha_k \ge 0$ para $k \in I$ y $x_{k_0} + \mu \alpha_{k_0} = 0$ para al menos un ${k_0} \in I$. Sea $I'$ el subconjunto de índices en $I$ que son estrictamente positivos. (Dado que $x \neq 0$, sabemos que el conjunto de índices resultante no es vacío.) Podemos repetir este procedimiento hasta que los $b_k$ restantes sean linealmente independientes.
Ahora sea ${\cal I}$ la colección de conjuntos de índices $I$ tal que los $\{b_k\}_{k \in I}$ son linealmente independientes y observamos que ${\cal I}$ es finito. Vemos que $K = \cup_{I \in {\cal I}} \operatorname{cono} \{b_k\}_{k \in I}$ que es la unión de un número finito de conjuntos cerrados, por tanto es cerrado.
