Demostrar que $f$ es una constante dada alguna integral de valor medio

Question

$f:(-\infty, \infty)\to\mathbb{R}$ es continua. Si para cualquier $x\in\mathbb{R}$, $\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{h^3}\int_{-h}^h f(x+t)t\,dt=0$, entonces muestra que $f$ es una función constante.

Si $f$ es $C^1$, entonces básicamente tenemos algo como $f'(x)=0$ y podemos obtener el resultado. Pero para una función continua, ¿cómo puedo obtenerlo? ¡Gracias!

Answer 1

Usa la regla de L'Hôpital, aplicando la regla de Leibnitz una vez, encontrarás que obtienes f'(x)/3=0 a partir de la definición de Newton de una derivada, lo que implica inmediatamente que f es una constante.