¿Cuáles son los tiempos de muestreo esperados para que se cubra toda la población?

Question

Hay una población con N instancias.

Un muestreo significa que extraemos al azar M instancias de la población sin reemplazo.

Dos muestreos son independientes, es decir, después de un muestreo devolvemos M instancias al conjunto y reiniciamos.

Llamemos m al número de veces que se realiza el muestreo, ya que cada instancia en la población ha sido muestreada al menos una vez.

¿Cuál es el valor esperado de m?

Answer 1

De los $X_t=j$ unidades no muestreadas en el tiempo $t$, el número que aún no se han muestreado en el tiempo $t+1$ sigue una distribución hipergeométrica con parámetros $N$, $N-M$ e $i$. Las probabilidades de transición de esta cadena de Markov están dadas por $$p_{ij}=P(X_{t+1}=j|X_t=i)=\frac{{i \choose j}{N-i \choose N-M-j}}{{N \choose N-M}}.$$ Sea $k_i$ la cantidad esperada de tiempo restante hasta que todas las unidades estén muestreadas dado que el estado actual es $X_t=i$. Entonces tenemos que $k_0=0$ y, por la ley de la expectativa total, $$k_i = 1 + \sum_{j=0}^i p_{ij} k_j.$$ El siguiente código en R resuelve estas ecuaciones y calcula $k_1,k_2,\dots,k_{10}$ para $M=2$ y $N=10$.

expectation <- function(M,N) {
  k <- NULL # k_1, k_2, ... 
  for (i in 1:N) {
    p <- dhyper(1:i, N-M, M, i) # probabilidades de transición  
    k[i] <- (1 + sum(p[-i]*k))/(1 - p[i]) # solución de k_i = 1 + sum p_ij k_j
  }
  k
}
> expectation(2,10)
 [1]  5.000000  7.352941  8.933824 10.117647 11.065126 11.854557 12.531270
 [8] 13.123362 13.649689 14.123362