Deja $X$ y $Y$ ser espacios de Banach, muestra que si son isomorfos, entonces $X$ es reflexivo si y solo si $Y$ es reflexivo.

Question

Quiero demostrar que si $X$ e $Y$ son dos espacios de Banach, y $T: X \to Y$ es un isomorfismo, entonces $$ X \textrm{ reflexivo} \iff Y \textrm{ reflexivo}. $$ He visto varias pruebas, pero no puedo entenderlas, algunas trabajan con el dual de $T$, ¿pero no estoy seguro de qué debería ser el dual de $T$?

Answer 1

Siento que la otra respuesta es un poco sospechosa y posiblemente está dando por sentado la cuestión (al asumir que el diagrama conmuta). Por lo tanto, aquí está mi propia demostración:

Si tenemos un operador acotado $f:X \to Y$, entonces $f^*:Y^* \to X^*$ y $f^{**} = (f^*)^*: X^{**} \to Y^{**}$, entonces $$f^{**}(i_X x) = i_Y f(x)$$ porque $$f^{**}(i_X x)(\psi) = i_X x (f^*(\psi)) = f^*(\psi)(x) = \psi(fx) = i_Y(fx)(\psi)$$

donde $\psi \in Y^*$ y $i_X, i_Y$ son los mapas inyectivos canónicos de $X,Y$ a $X^{**},Y^{**}$ respectivamente. Decimos que $X$ es reflexivo (por definición) si $X \cong X^{**}$ isométricamente a través de $i_X$ (por lo tanto, basta con mostrar que $i_X$ es sobreyectivo, ya que sabemos que es una isometría).

Ahora, supongamos que $X$ es reflexivo. Si $f$ es un isomorfismo, entonces $f^*$ es un isomorfismo (porque $(f^{-1})^*=(f^*)^{-1}$ y es lineal) y así también $f^{**}$ es un isomorfismo. Pero los isomorfismos son necesariamente sobreyectivos, entonces $f^{**} \circ i_X$ es sobreyectivo y por lo tanto, dado cualquier $\xi \in Y^{**}$ podemos encontrar un $x\in X$ tal que la primera $=$ a continuación es verdadera, luego la segunda $=$ a continuación fue demostrada anteriormente:

$$\xi (\psi)=f^{**}(i_Xx)(\psi) = i_Y (fx)(\psi)$$

Esto muestra que $i_Y$ es sobreyectivo, por lo tanto, $Y$ es reflexivo.

Answer 2

Sea $J_X:X\to X^{**}$ la isometría canónica definida por $J(x)(f)=f(x)$. Por definición, X es reflexivo si J es sobreyectiva.

$$\begin{array}{ccc}X&\xrightarrow{T}& Y\\\downarrow{J_X} &&\downarrow{J_Y}\\X^{**}&\xrightarrow{T^{**}}& Y^{**}\end{array}$$,

Definimos $T^*:Y^*\to X^*$ como arriba y $T^{**}$ análogamente: $T^{**}G=GT^*$,

El diagrama anterior conmuta, por lo tanto si $J_X$ es sobreyectiva entonces $J_Y$ también es sobreyectiva