Pruebas de la dualidad de Poincaré

Question

Conozco varias demostraciones de la dualidad de Poincaré:

1. La prueba original usando complejos de celdas duales. Probablemente la versión más bonita de esta usa una descomposición de asas.

2. El argumento (en Hatcher y muchos otros lugares) que utiliza Mayer-Vietoris para pegar juntos gráficos locales uno a la vez.

3. Hay una prueba de apariencia extraña en el Capítulo 11 de Milnor-Stasheff de la versión en cohomología (sobre un campo) que utiliza la isomorfismo de Thom y un estudio cuidadoso del mapa diagonal $M \rightarrow M \times M$.

4. Sobre los números reales, puedes demostrarlo en cohomología de de Rham usando el operador Hodge-$\ast$.

¿Alguien conoce alguna otra demostración de este resultado?

Answer 1

1. La dualidad de Alexander + el isomorfismo de Thom + el teorema del vecindario tubular = Dualidad de Poincaré. Tal argumento no tiene por qué ser circular, Dold-Puppe demuestran la dualidad de Alexander directamente sin hacer referencia a la dualidad de Poincaré o al isomorfismo de Thom.

2. Spivak demostró en su tesis que si algún espacio $X$ tiene un vecindario tubular hasta homotopía, entonces satisface la Dualidad de Poincaré. El argumento es diferente al de (1) y utiliza la sucesión espectral de Serre.

3. Una interpretación moderna de la prueba anterior es que la Dualidad de Poincaré puede demostrarse usando el "formalismo de los seis funtores". Un relato particularmente reciente de Volpe es The six operations in topology

4. Existen varias "argumentos de escaneo" para construir la Dualidad de Poincaré que dependen del uso de mapas exponenciales para comparar vecindarios alrededor de $x$ con $T_xM$. Básicamente tienen dos enfoques: uno que proviene de aplicar homología para recuperar un mapa de Dualidad de Poincaré y otro que proviene de aplicar homotopía para recuperar un mapa de Dualidad de Poincaré. Ambos pueden considerarse como casos especiales de la "Dualidad de Poincaré no abeliana" de Lurie, Ayala-Francis.

5. En la categoría de variedades orientables y suaves $n$-dimensionales, $C_\ast(M)$, $\bar{C}^{n-\ast}(M^+)$ proporcionan dos cosheaves "hasta homotopía". Por el trabajo de Ayala--Francis y Lurie, para demostrar que $C_\ast(M) \simeq \bar{C}^{n-\ast}(M^+)$ basta con mostrar que existe una cuasiisomorfismo (suficientemente natural) para $M = \bigsqcup_i \mathbb{R}^n$. Sin embargo, en este caso la dualidad de Poincaré es trivial de probar. Nota, esto es básicamente una versión reforzada del argumento de Hatcher.

Finalmente, debo señalar que el trabajo de Klein sobre El espectro dualizante de un grupo topológico es relevante para la mayoría de estos ejemplos y si se tiene una prueba de que el espectro dualizante de una variedad es su fibra normal de Spivak, entonces también se lograría una demostración. Klein proporciona tal argumento, pero no lo he verificado cuidadosamente para ver si hace uso de la Dualidad de Poincaré.

Answer 2

1. En una variedad cerrada y orientada, tanto el haz de cocadenas singulares como el haz de cadenas singulares (con indexaciones apropiadas) son resoluciones del haz constante de coeficientes. (La parte difícil aquí es mostrar, si se desea, que el isomorfismo resultante en la (co)homología es equivalente al producto de cap.)
2. Dev Sinha, Anibal Medina y yo hemos estado desarrollando "homología y cohomología geométrica" en variedades suaves, originalmente debido a Lipyanskiy. En este caso, debido a las definiciones de cadenas y cocadenas geométricas, la dualidad de Poincaré es tautológica y es tautológico que proviene del producto de cap. La parte difícil aquí es mostrar que la homología y cohomología geométricas son las teorías usuales de homología y cohomología.

Answer 3

En dos y tres dimensiones, uno puede (en principio) dar pruebas basadas en una realización geométrica de clases de homología por subvariedades. Discutiré el caso en 3D ya que el caso en 2D se sigue de la clasificación de superficies (o siguiendo el argumento en 3D a continuación).

Moise demostró que cada 3-variedad es triangulable (y suave), por lo que si está conectada y orientable, tiene una clase fundamental, y por lo tanto, si está cerrada, $H_3(M;\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \cong H^0(M)$ (se puede obtener un límite superior tomando una estructura celular con una 3-celda y usando el isomorfismo con la homología celular).

Para $\alpha \in H^1(M)$, existe un mapa $a:M\to S^1$ con la retrotracción de la clase fundamental $1\in H^1(S^1)$ $a^*(1)= \alpha$ por la representabilidad de Brown. Por Sard, hay un punto en la imagen de $a$ para el cual el mapa es transversal, y por lo tanto, la preimagen es una superficie cerrada. Se puede mostrar que esto está bien definido hasta la homología (preimágenes de diferentes puntos transversales limitan subvariedades), por lo que se obtiene un mapa bien definido $H^1(M) \to H_2(M)$. Para ver que esto es sobreyectivo, se puede tomar un 2-ciclo arbitrario y crear un mapa de una superficie en la variedad cuya imagen sea este ciclo, luego resolver singularidades (consulte esta respuesta sobre cómo resolver singularidades de puntos de ramificación). La orientabilidad implica que esta superficie es de 2 lados y la no trivialidad homológica implica que tiene un componente no separador del cual se puede derivar un mapa a $S^1$ realizando la superficie como la preimagen de un punto. Esto muestra que $H^1(M)\cong H_2(M)$.

Para $\beta \in H^2(M)$, realiza un mapa $b:M\to K(Z,2) = CP^\infty$, y usa una aproximación celular para realizar un mapa pasando por $M\to CP^2$. Homotopía este mapa para que sea transversal a $CP^1 \subset CP^2$, luego la preimagen será una 1-subvariedad. Esto da un mapa $H^2(M) \to H_1(M)$, y se puede mostrar que esto está bien definido y es sobreyectivo como en el párrafo anterior.

Para $H^3(M)$, uno puede tomar mapas a un $K(Z,3)$ que tiene 4-esqueleto $S^3$, por lo que este es el grupo de cohomotopía de mapas a $S^3$, luego se pueden hacer argumentos similares a los anteriores.

Este tipo de prueba es excesiva en muchos sentidos y no es una prueba práctica. Por otro lado, esta es la forma en que pienso sobre la dualidad de Poincaré y la homología en tres dimensiones.