Pregunta: "¿Qué propiedad se puede verificar en esquemas locales? (Me refiero a que la propiedad P se cumple para cada esquema local implica que se cumple para f) ¿Existe alguna relación general entre las ramas de $Y×_X Spec(O_{X,x})$ y las ramas de $X,Y$? ¿Cuál es la diferencia intuitiva entre esquema local y fibra?"
Respuesta: Sea $f: A \rightarrow B$ un mapa de anillos conmutativos unitarios con $\mathfrak{q} \subseteq A, \mathfrak{p}\subseteq B$ ideales primos donde $\mathfrak{p}\cap A=\mathfrak{q}$. Existen mapas canónicos
$$B \rightarrow B_{\mathfrak{q}} \rightarrow B_{\mathfrak{p}}$$
y
$$B \rightarrow C:=\kappa(\mathfrak{q})\otimes_A B \rightarrow \kappa(\mathfrak{q})\otimes_{A_{\mathfrak{q}}}B_{\mathfrak{p}}.$$
Pregunta: "¿Cuál es la diferencia intuitiva entre esquema local y fibra?"
El esquema local es el espectro $Spec(C_{\tilde{\mathfrak{p}}})$ del anillo local del anillo de la fibra $\kappa(\mathfrak{q})\otimes_A B$ en $\tilde{\mathfrak{p}}$: Existe un ideal primo $\tilde{\mathfrak{p}} \subseteq C$ correspondiente a $\mathfrak{p}$ y un isomorfismo
$$C_{\tilde{\mathfrak{p}}}\cong \kappa(\mathfrak{q})\otimes_{A_{\mathfrak{q}}}B_{\mathfrak{p}} \cong B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}_{\mathfrak{q}}B_{\mathfrak{p}}.$$
Por lo tanto, el anillo local del anillo de la fibra $C$ en $\tilde{\mathfrak{p}}$ es un cociente del anillo local $B_{\mathfrak{p}}$. Ambos tienen el mismo cuerpo residual en $\mathfrak{p}$.
Respuesta: Por lo tanto, el esquema local $Spec(\kappa(\mathfrak{q})\otimes_{A_{\mathfrak{q}}}B_{\mathfrak{p}})$ es el espectro del anillo local del anillo de la fibra $C$ en $\tilde{\mathfrak{p}}$. Se obtiene una secuencia de mapas
$$\kappa(\mathfrak{q}) \rightarrow B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}_{\mathfrak{q}}B_{\mathfrak{p}} \rightarrow \kappa(\mathfrak{p}).$$
Lema: Si $A \rightarrow B$ con $B:=A[t_1,..,t_n]/(f_1,..,f_l)$ entonces se sigue que $\Omega^1_{B/A}\otimes_{B_{\mathfrak{p}}} \kappa(\mathfrak{p})=0$ si y solo si
el mapa canónico $\kappa(\mathfrak{q}) \subseteq B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}_{\mathfrak{q}}B_{\mathfrak{p}}$ es una extensión finita y separable de campos. Existe un isomorfismo
$$ B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}_{\mathfrak{q}}B_{\mathfrak{p}} \cong \kappa(\mathfrak{p}).$$
Prueba: Teorema 3.1, Demazure/Gabriel - "Groupes algebriques".
Pregunta: "¿Qué propiedad se puede verificar en esquemas locales?"
Respuesta: Se utiliza el esquema local para definir las nociones de "morfismo étale" y "morfismos suaves".
