No hay ningún error y como JBL dice en los comentarios, no se utiliza nada acerca de la estructura del grupo en $G$. Aquí hay un argumento más simple: $S_n$ actúa linealmente sobre $K^n$ de manera fiel y lineal por permutación de las coordenadas, para cualquier campo $K$ (incluso cualquier anillo conmutativo). Esto da una incrustación canónica de $S_n$ en $GL_n(K)$ como el subgrupo de matrices de permutación que, cuando $K$ es un campo finito $\mathbb{F}_q$, establece que $n!$ divide el orden
$$|GL_n(\mathbb{F}_q)| = q^{ {n \choose 2} } (q - 1)^n [n]_q!$$
de $GL_n(\mathbb{F}_q)$. Aquí
$$[n]_q! = \prod_{i=1}^n [i]_q = \prod_{i=1}^n \frac{q^i - 1}{q - 1}$$
es el $q$-factorial. No es en absoluto obvio a simple vista, solo mirando estas fórmulas, que esta divisibilidad deba mantenerse. Entonces, ¿cómo podemos demostrarlo directamente? Podemos trabajar con un número primo a la vez. Si $p$ es un número primo, recordemos que $\nu_p(n)$ es el mayor exponente $k$ tal que $p^k \mid n$. La fórmula de Legendre nos dice que
$$\nu_p(n!) = \sum_{k \ge 1} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$$
entonces, para probar la divisibilidad, necesitamos demostrar que $\nu_p(|GL_n(\mathbb{F}_q)|)$ es mayor o igual a esto para todos los números primos $p$. Hice este cálculo recientemente aquí así que podemos usarlo: si $\gcd(p, q) = 1$ entonces obtenemos
$$\nu_p(|GL_n(\mathbb{F}_q)|) = \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor \nu_p(q^d - 1) + \sum_{k \ge 1} \left\lfloor \frac{n}{dp^k} \right\rfloor$$
donde $d = \text{ord}_p(q)$ es el menor entero positivo tal que $q^d \equiv 1 \bmod p$. En particular, $d \le p-1$ y $\nu_p(q^d - 1) \ge 1$ lo que da
$$\nu_p(|GL_n(\mathbb{F}_q)|) \ge \sum_{k \ge 0} \left\lfloor \frac{n}{(p-1)p^k} \right\rfloor$$
y la desigualdad deseada es clara ya que $\frac{1}{p-1} > \frac{1}{p}$. Si $p \mid q$ entonces $\nu_p(|GL_n(\mathbb{F}_q)|) \ge {n \choose 2}$ que es mucho más grande de lo que necesitamos.
Esta expresión en el lado derecho se puede interpretar como $\log_p$ del orden del "subgrupo de Sylow $p$" de $GL_n(\mathbb{Q})$, en el sentido de que cada subgrupo de $p$ de $GL_n(\mathbb{Q})$ se incrusta en él (lo que significa que controla cuán grande puede ser un subgrupo finito de $GL_n(\mathbb{Q})$). Consulta el trabajo de Serre Bounds for the orders of the finite subgroups of $G(k)$ para obtener mucha más información al respecto.
