Valor esperado de una composición aleatoria de funciones

Question

Supongamos que tengo dos funciones, $f(x)$ y $g(x)$. Para simplificar, digamos que ambas funciones son lineales.

Sea $C_m(x)$ cualquier función donde $f$ y $g$ se componen entre sí exactamente $m$ veces (por lo que $C_m(x)$ es una variable aleatoria (función) en un espacio de $2^m$ funciones posibles).

¿Existe alguna teoría que pueda ayudar a predecir $E[C_m(1)]$?

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EJEMPLO

Si $m=2$, entonces podemos tener 4 valores posibles para $C_m(x)$, a saber, $f\circ g$, $f\circ f$, $g\circ f$, $g\circ g$

Suponiendo que $f(x)=\frac{x}{2}$ y $g(x)=3x+1$, entonces podemos calcular cada una de esas funciones, vemos que la distribución de $C_2(x)$ es: $\{ 0.25x, 1.5x+1, 1.5x+.5, 9x+4\}$ sobre lo cual encontramos que $E[C_2(1)]=4.4375$.

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Incluso más difícil, ¿cómo podemos predecir, por ejemplo,

$E[\frac{b}{1-a}]$ where $a = \frac{C_m(1)-C_m(-1)}{2}$ $b = \frac{C_m(1)+C_m(-1)}{2}$

(Se observará que esta es la expectativa del valor de $x$ que satisface $C_m(x)=x$, bajo las condiciones de que $f$ y $g$ son ambos lineales)

Answer 1

Aquí hay una solución simple para la primera parte del problema.

Nota que para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la secuencia de variables aleatorias definidas como $C_1(x),C_2(x),C_3(x), \dots$ se puede ver como una Cadena de Markov. La esperanza se puede calcular de forma recursiva utilizando la estructura recursiva de la Cadena de Markov. De hecho, tenemos que $$\mathbb{E}[C_m(x)] = \mathbb{E}[C_1(\mathbb{E}[C_{m-1}(x)])] = \frac{f(\mathbb{E}[C_{m-1}(x)])+g(\mathbb{E}[C_{m-1}(x)])}{2}$$