Esta pregunta podría ser difícil porque obtuvo $35$ votos positivos en MSE y también tuvo una recompensa de $200$ puntos de Jyrki Lahtonen pero quedó sin respuesta. Así que la estoy publicando en MO.
El número de raíces reales de un polinomio aleatorio con coeficientes reales es mucho menor que el número de raíces complejas. Supongamos que los coeficientes son independientes y uniformemente aleatorios en $(-1,1)$, porque si no, entonces podemos dividir cada coeficiente por el coeficiente con el mayor valor absoluto para escalar cada coeficiente a $(-1,1)$. El número de raíces reales de un polinomio de grado $n$ es asintótico a $\displaystyle \frac{2\log n}{\pi} + o(1)$. Esto significa que el número de raíces complejas es aproximadamente $\displaystyle n - \frac{2\log n}{\pi}$. Asíntotas similares se mantienen para otras distribuciones de los coeficientes.
Definición: La raíz más grande (o más pequeña) de un polinomio es la raíz con el módulo más grande (o más pequeño).
El gráfico anterior muestra las raíces de un polinomio de grado $101$. La raíz más grande está en la esquina superior derecha en verde.
Preguntamos si la raíz más grande (o más pequeña) es más probable que sea real o compleja. Dado que hay exponencialmente más raíces complejas que raíces reales como se ve en la asíntota anterior, mi suposición ingenua fue que la raíz más grande (o más pequeña) es más probable que sea compleja. Sin embargo, los datos experimentales resultaron ser bastante contraintuitivos.
Los datos muestran que
- La probabilidad de que la raíz más grande (o más pequeña) sea real es mayor que la probabilidad de que sea compleja.
- Y esta probabilidad disminuye a algún valor cercano a $1/2$ a medida que $n \to \infty$ como se muestra en el gráfico anterior (creado usando una simulación de Monte Carlo con $10^5$ pruebas para cada valor de $n$).
- Nota: En lugar de una distribución uniforme, si asumimos que los coeficientes están distribuidos normalmente con media $0$ y desviación estándar $1$ y escalados a $(-1,1)$, la observación anterior y las probabilidades límites se mantienen.
Es contraintuitivo que, a pesar de ser mucho (exponencialmente) menos en número, las raíces reales son más propensas a contener tanto las raíces más grandes como las más pequeñas de un polinomio aleatorio. En este sentido, las raíces más grandes y más pequeñas están ambas sesgadas hacia los reales.
Pregunta 1: ¿Cuál es la razón de este sesgo?
Pregunta 2: ¿La probabilidad de que la raíz más grande (o más pequeña) de un polinomio de grado $n$ sea real converge (a algún valor cercano a $\frac{1}{2}$ a medida que $n \to \infty$)?
Nota: Podemos cuantificar el sesgo observado de la siguiente manera. Sea $P(L\mid R)$ la probabilidad de que una raíz sea la más grande dado que es real y sea $P(L\mid C)$ la probabilidad de que una raíz sea la más grande dado que es compleja. De manera similar, sea $P(S\mid R)$ la probabilidad de que una raíz sea la más pequeña dado que es real y sea $P(S\mid C)$ la probabilidad de que una raíz sea la más pequeña dado que es compleja. Entonces los datos experimentales dicen que
$$ P(L\mid R) = P(S\mid R) \approx \frac{\pi}{4\log n}, $$
$$ P(L\mid C) = P(S\mid C) \approx \frac{\pi}{2n\pi - 4\log n}. $$
Actualización 1: En el post MSE vinculado, ahora se ha demostrado que la probabilidad de que la raíz más grande sea real es al menos
$$ \frac{23-16\sqrt{2}}{6} \approx 6.2 \% $$
Actualización 2, 11-May-24: (¡Estoy sorprendido de ver que esta publicación ha alcanzado $17,000$ vistas en solo un día! !!!) Una simulación con cerca de $60,000$ pruebas para un polinomio de grado $n = 1000$ se muestra a continuación. La observación es consistente con aquellas para $n \le 125$ mostradas anteriormente en el gráfico previo. Estos datos también muestran que la probabilidad de que la raíz más grande sea real tiene una tendencia decreciente a medida que el número de pruebas aumenta; probablemente converge a $\frac{1}{2}$.
Relacionado: ¿Cuál es la probabilidad de que el valor absoluto de las raíces de un polinomio de grado $n$ sea mayor que $x$?
