¿Cómo encontrar tres números de manera que la suma de cualquiera de ellos, así como la suma total, sea un cuadrado perfecto?

Question

Chistyakov, problema # 51.

Se deben encontrar tres números de modo que la suma de cualquier par de ellos y también la suma total sea un cuadrado perfecto.

El autor no especifica que los números deben ser naturales, pero supongo que probablemente deben serlo. (O uno de ellos podría ser igual a cero).

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Creo que debo mostrar mis pensamientos y esfuerzos para tratar de resolver este problema. Intenté denotar nuestros tres números con las letras a, b y c. Tenemos un sistema de cuatro ecuaciones:

1. a + b = p²;
2. a + c = q²;
3. b + c = r²;
4. a + b + c = s².

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Intenté sumar las cuatro ecuaciones juntas. Obtenemos: 3a + 3b + 3c = p² + q² + r² + s²; a + b + c = (p² + q² + r² + s²)/3. Pero, por otro lado, esto también es igual a s² (ver ecuación #4). Así que tenemos:

(p² + q² + r² + s²)/3 = s² |*3 (Decidí multiplicar ambos lados por 3 para deshacerme de la fracción);

p² + q² + r² + s² = 3s²;

p² + q² + r² = 3s² – s²;

p² + q² + r² = 2s².

Aquí, realmente no sé qué hacer. Incluso intenté resolverlo usando Mathway. O Mathforyou. Como resultado, solo expresaba una variable, por ejemplo, p, en relación con las otras tres. Así que realmente no sé cómo resolver una ecuación que aún tiene cuatro variables diferentes. [¿Debería probar manualmente diferentes valores de p, q y r para sustituirlos en la ecuación y encontrar s? ¡Esto llevaría una eternidad!]

Sin embargo, cuando intenté publicar esta pregunta en otro sitio, me dieron instantáneamente un montón de soluciones. Supongo que los que respondieron usaron una computadora. No proporcionaron ninguna explicación en absoluto. Me pregunto si es posible encontrar todas las soluciones sin usar ninguna computadora/calculadora.

Answer 1

Resulta que todo número de la forma $2s^2$ puede ser escrito como la suma de tres cuadrados $2s^2=p^2+q^2+r^2$. (Esto es una consecuencia de un teorema conciso, pero algo profundo, de Legendre.) Así que si simplemente fijamos $a=s^2-r^2$ y $b=s^2-q^2$ y $c=s^2-p^2$, obtenemos los números deseados con $a+b=p^2$ y $a+c=q^2$ y $b+c=r^2$.

(Admitidamente, esto no garantiza que $a,b,c$ sean positivos si eso importa; pero en la práctica habrá muchas opciones de $p,q,r$ y muchas de ellas llevarán a valores positivos de $a,b,c$.)