¿Las matemáticas requieren axiomas?

Question

Acabo de leer todo este artículo: http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/SetTheory.pdf
que también se discute aquí: ¿Los conjuntos infinitos no existen!?

Sin embargo, el párrafo que encontré más interesante no se discute realmente allí. Creo que este párrafo ilustra dónde la mayoría (léase: cerca de todos) de los matemáticos discrepan fundamentalmente con el Profesor NJ Wildberger. Debo admitir que soy un estudiante de primer año de matemáticas y realmente no sé lo suficiente como para tomar partido aquí. ¿Podría alguien explicarme aquí por qué sus argumentos son o no son correctos?

Estas ediciones se hicieron después de la respuesta de Asaf Karagila.
Edit $\;$ He acortado un poco la cita, ¡espero que esta pregunta pueda ser reabierta! El párrafo completo se puede leer en el enlace de arriba.
Edit $\;$ He enumerado las citas de su artículo que encuentro más interesantes:

• El trabajo [de un matemático puro] es investigar la realidad matemática del mundo en el que vivimos.
• Para Euclides, un axioma era un hecho lo suficientemente obvio como para no requerir una demostración.

Y de una discusión con el autor en internet:

Usted comparte con nosotros la asunción moderna común de que las matemáticas se construyen a partir de "axiomas". No es una posición con la que Newton, Euler o Gauss tendrían mucha simpatía, en mi opinión. En este curso, lentamente aprenderemos a apreciar que definiciones claras y cuidadosas son un comienzo mucho más preferible para el estudio de las matemáticas.

Lo que me lleva a la siguiente pregunta: ¿Es cierto que con las matemáticas modernas es menos importante que un axioma sea autoevidente? Me suena que las matemáticas antiguas estaban mucho más relacionadas con la física de lo que lo están hoy. ¿Es esto cierto?

¿Las matemáticas requieren axiomas?

Las matemáticas no requieren "Axiomas". El trabajo de un matemático puro no es construir algún elaborado castillo en el cielo y proclamar que se mantiene en pie gracias a algunas suposiciones arbitrariamente elegidas. El trabajo es investigar la realidad matemática del mundo en el que vivimos. Para esto, no se necesitan suposiciones. La observación cuidadosa es necesaria, definiciones claras son necesarias, y el uso correcto del lenguaje y la lógica son necesarios. Pero en ningún momento es necesario comenzar a invocar la existencia de objetos o procedimientos que no podemos ver, especificar o implementar.

La gente usa el término "Axioma" cuando a menudo realmente quieren decir definición. Así, los "axiomas" de la teoría de grupos son en realidad solo definiciones. Decimos exactamente lo que queremos decir con un grupo, eso es todo. No hay suposiciones en ninguna parte. En ningún momento decimos o deberíamos decir, "Ahora que hemos definido un grupo abstracto, asumamos que existen".

Quizás Euclides haya llamado a ciertas de sus afirmaciones iniciales Axiomas, pero él tenía algo diferente en mente. Euclides tenía muchos hechos geométricos que quería organizar de la mejor manera posible en un marco lógico. Se tuvieron que tomar muchas decisiones sobre un orden conveniente de presentación. Decidió acertadamente que los hechos más simples y básicos deberían aparecer antes que los complicados y difíciles. Así que inventó organizar las cosas de manera lineal, con la mayoría de las Proposiciones que siguen a las anteriores por razonamiento lógico solo, con la excepción de ciertas afirmaciones iniciales que se consideraban evidentes por sí mismas. Para Euclides, un axioma era un hecho lo suficientemente obvio como para no requerir una prueba. Este es un significado bastante diferente al uso del término hoy. Aquellos formalistas que afirman que siguen los pasos ilustres de Euclides al convertir las matemáticas en un juego jugado con símbolos a los que no se les ha dado significado están distorsionando la situación.

Y sí, está bien, la hipótesis del continuo realmente no necesita ser verdadera o falsa, pero se permite flotar en alguna tierra de nadie, inclinándose en una dirección u otra dependiendo de en qué creas. La prueba de Cohen de la independencia de la hipótesis del continuo de los "Axiomas" debería haber sido el largo despertar pendiente.

Cada vez que surgen discusiones sobre los fundamentos de las matemáticas, rendimos homenaje a los "Axiomas" de Zermelo-Fraenkel, pero ¿realmente los usamos? Casi nunca. Con la notable excepción del "Axioma de Elección", apuesto a que menos del 5% de los matemáticos han empleado explícitamente uno de estos "Axiomas" en su trabajo publicado. El matemático promedio probablemente ni siquiera pueda recordar los "Axiomas". Creo que soy típico, en dos semanas los habré retirado a su lugar habitual en algún lejano campo de mi memoria, en su mayoría más allá del recuerdo.

En la práctica, los matemáticos que trabajan están bastante conscientes de las contradicciones latentes con la "teoría de los conjuntos infinitos". Hemos aprendido a mantener a distancia a los demonios, no confiando en los "Axiomas", sino más bien desarrollando convenciones e intuiciones que nos permitan evitar las trampas más obvias. Si huele que puede haber un "conjunto infinito" problemático por ahí, rápidamente usamos el término "clase". Por ejemplo: Una topología es una "clase de equivalencia de atlas". Por supuesto, la mayoría de nosotros no podríamos especificar exactamente qué constituye o qué no constituye una "clase", y aprendemos a no plantear tales preguntas en compañía.

Answer 1

Una de las propiedades agradables del "juego jugado con símbolos" es que no importa por qué lo estás jugando, todos obtienen las mismas respuestas. Puedes jugar porque piensas que describe algo "real" pero abstracto, o porque crees que el propósito de las matemáticas es predecir el universo y que manipulando símbolos puedes hacerlo, o puedes jugar porque te gustan los símbolos. A nadie le importa, pueden usar tus resultados de todos modos. Lo mismo no es cierto para el razonamiento intuitivo.

Hay más de una forma de proporcionar una fundamentación para las matemáticas. La más ampliamente referenciada en este momento es la teoría axiomática de conjuntos, pero se obtuvieron 2000 años de valiosos resultados en matemáticas sin ella, y con solo ocasiones de tropiezos. Lo inteligente (y quizás sorprendente) de la teoría axiomática de conjuntos es que podría "encajarse" debajo de todo ese razonamiento, de una manera que evitaba cambiar fundamentalmente lo que los matemáticos aceptan como una prueba en la mayoría de los campos.

El proyecto metamath busca compilar pruebas de todo a partir de ZF(C). Es interesante que incluso donde tales pruebas elementales aún no existen, porque los matemáticos simplemente no han escrito todos los detalles de cada prueba en cálculo de predicados, nadie espera que el proyecto falle al producirlas. Los matemáticos "pueden darse cuenta" de que están haciendo argumentos que formalizan incluso sin formalizarlos, obviamente con algún pequeño margen de error.

Por lo tanto, no importa que Euclides no estuviera razonando sobre un conjunto que modelara una teoría en particular, porque alguien que lo haga, o en general que razona a partir de axiomas, puede obtener los mismos resultados.

A veces las personas que se preocupan por los axiomas no obtienen los mismos resultados. En el esquema de Euclides, el Axioma de Pasch no se deduce, lo cual Euclides no notó. Hasta donde sé, no se debe a que estuviera enunciando hechos verdaderos en un orden sensato y que no hubiera sido sensato declarar esto. Simplemente lo pasó por alto, era tan evidente que ni siquiera notó que se estaba evidenciando a sí mismo. Creo que es bastante claro que Pasch mejoró el trabajo de Euclides al eliminar esos detalles. Euclides pretendía que su lista de axiomas incluyera todo lo que estaba dando por sentado, por lo que es útil razonar solo a partir de los axiomas que has identificado en lugar de a partir de cualquier cosa que sea evidente por sí misma, y así identificar cualquier error que Euclides pudo haber cometido al declarar la lista completa.

O toma el "axioma" que en sí mismo preocupaba a Euclides, el postulado de paralelismo. Al considerar geometrías no euclidianas en general, parte de su valor es que tienen algunas cosas en común con las euclidianas y algunas diferentes. ¿Cómo se caracteriza la diferencia? Por diferentes axiomas. Ahora, si Euclides sentía que un axioma era algo inherentemente verdadero entonces eso está bien hasta cierto punto, pero si se aferraba a su opinión de que el postulado de paralelismo es verdadero entonces eso lo habría incapacitado para considerar una geometría no euclidiana a la luz de sus otros axiomas. Esa es una limitación de negarse a considerar que los axiomas sean negociables. Nunca conocí a Euclides, pero me resulta difícil creer que una mente brillante estuviera inherentemente limitada de esa manera. Él llegó a cierta distancia en el tiempo disponible, pero no descubrió todo lo interesante sobre su procedimiento de razonamiento. Descubrir cosas más interesantes hizo que los matemáticos modernos comenzaran a ver los axiomas de manera diferente, y a ver lo que los matemáticos habían estado haciendo durante 2000 años de manera diferente.

También estoy de acuerdo con los axiomas-como-definiciones. Puedes escribir tus axiomas y reglas de procedimiento, y usarlos en base a que son valiosos en sí mismos, o que cualquier fundamento que proporcione un modelo para ellos servirá, y no te importa abordar la pregunta filosófica de qué podría ser ese fundamento. No creo que estas partes de lo que dice el autor sean controvertidas, lo complicado es rechazar por completo los fundamentos formales. No sé lo que el autor quiere decir con "comienzo al estudio de las matemáticas", pero si se refiere a la formación de un estudiante, entonces dudo que alguien argumentaría que los niños deberían aprender ZF antes de aprender a contar. Por lo tanto, se deduce que ZF no viene primero, si algún formalismo lo hace, es PA.

Apuesto a que menos del 5% de los matemáticos han empleado explícitamente incluso uno de estos "Axiomas" en su trabajo publicado

Esto suena como un punto que, si quieres tomarlo en serio, puedes investigar mediante muestreo estadístico. Es un punto interesante, y asumamos que es cierto, pero en última instancia, si escribes $x \notin x$, no estás apelando explícitamente al axioma de regularidad, pero estás apelando a un resultado que has visto demostrado (con una demostración muy corta) a partir de ZF, y cualquiera que probablemente lea tu artículo también ha visto esta prueba. Y así sucesivamente hacia resultados con demostraciones mucho más largas. Como metamath muestra, no hay una frontera fija entre resultados que pueden formalizarse y resultados que no pueden.

La falta de apelación explícita no prueba si los axiomas son fundamentales para el trabajo. Sin embargo, un artículo dado se basa en algún conjunto de resultados, y si reemplazaras ZFC con algo más que produzca esos mismos resultados, no necesitarías cambiar el artículo. Eso es a lo que se dedican aquellos que juegan con los fundamentos. Es perfectamente razonable expresar descontento con los fundamentos, pero la tarea difícil y esclarecedora sería proporcionar una alternativa. Una noción ingenua de clases en lugar de cosas "demasiado grandes para ser conjuntos" puede o no ser suficiente. El autor afirma que sí (por ejemplo, la lista completa de trucos para formar su fundamento probablemente es más larga).

Por lo tanto, creo que se presta más que palabras a los fundamentos, pero en contra de eso se aceptan resultados cuya prueba podría de hecho ser más rigurosa en el sentido de que aún no son verificables por computadora en lógica simbólica pero podrían hacerse en la opinión tanto del autor como de los lectores. Tómalos como quieras en cuanto a si el trabajo formal y/o la opinión de que la formalización podría hacerse, son "necesarios". Mientras tanto, el punto principal del autor es cierto de que la mayoría de los matemáticos no pasan mucho tiempo preocupándose por los fundamentos, y parecen salir adelante.

Answer 2

Volvamos a la pregunta original: ¿Las Matemáticas Requieren Axiomas?

La mejor respuesta que se me ocurre es: Para nada, hasta que los necesitan.

En la práctica real, los matemáticos trabajan en el desarrollo de nuevas matemáticas utilizando herramientas del pensamiento y lenguaje humanos comunes: modelan objetos abstractos como imágenes (en la mente o en el pizarrón); 'observan los objetos' para 'ver' qué características tienen; utilizan resultados anteriores en argumentos de manera muy informal; 'giran la mano' en los argumentos; etc. Cuando apelan a alguna propiedad para justificar una inferencia en conversaciones con colegas, no se molestan en justificarla siempre y cuando el colega la acepte. Incluso cuando finalmente escriben sus resultados y deben ser más técnicamente precisos, todavía utilizan mucho lenguaje informal y casi nunca se refieren específicamente a axiomas para justificar, porque esperan que sus lectores entiendan lo que quieren decir.

Y es un hecho histórico que todas las grandes matemáticas que se han creado estaban bien desarrolladas mucho antes de que alguien sintiera la necesidad de introducir axiomas. La creación y desarrollo explosivo del Cálculo/Análisis siguió durante más de doscientos años antes de que la gente sintiera la necesidad de axiomatizarlo (o más bien los Números Reales en los que se basa). Los resultados básicos de la Geometría eran conocidos antes de que Euclides escribiera los Elementos. Vaya, la gente estaba haciendo aritmética, y más tarde teoría de números, miles de años antes de que alguien pensara en crear axiomas para los números naturales.

Juzgando por la historia, parece que los matemáticos recurren a la axiomatización en dos circunstancias: (a) Necesitan enseñar un tema a estudiantes comunes en lugar de a matemáticos dedicados, y el antiguo 'girar la mano' no funciona; (b) El antiguo 'girar la mano' conduce inesperadamente a contradicciones u otros resultados falsos. La Geometría es el prototipo de (a): Euclides era un maestro y necesitaba un libro de texto para organizar el tema para sus alumnos. La Teoría de Conjuntos es un caso clásico de (b): el propio razonamiento de Cantor produjo paradojas evidentes, que fueron eliminadas mediante la axiomatización [Zermelo, Russell, etc]. El Cálculo fue una combinación de ambos: la axiomatización comenzó porque los matemáticos como Bolzano y Weierstrass tenían que enseñarlo a estudiantes comunes, pero encontraron que todos los argumentos habituales eran tanto incoherencias lógicas [¿infinitesimales??] como desastres pedagógicos.

Answer 3

Puedo entender la frustración del escritor con los axiomas de ZF. Yo mismo los encontré tan contraintuitivos que tuve que desarrollar mis propias versiones simplificadas. (Bueno, ¡tal vez no sea tan inteligente!)

El único ámbito en el que absolutamente no puedes evitar tratar con cada uno de los axiomas de la teoría de conjuntos (y la lógica) es en el desarrollo de demostradores automáticos de teoremas y verificadores de pruebas. Pero no hay razón para asustarse tanto por la noción de un conjunto infinito. Se pueden manejar con bastante facilidad y seguridad. Creo que este terror a lo infinito debe haber sido algún tipo de reacción exagerada a las conocidas inconsistencias de la teoría ingenua de conjuntos.

Answer 4

En primer lugar, por lo que sé, nadie realmente sabe nada sobre Euclides, ni mucho menos lo que pasaba por su mente cuando formulaba sus "axiomas". Sea como sea, los axiomas existen por una razón, no solo para entusiasmar a los formalistas y lógicos. Es cierto que la mayoría de los matemáticos nunca hacen uso explícito de ningún axioma, y como dices, la mayoría ni siquiera pueden recordar uno solo de ellos. Pero el hecho del asunto es que sirven a un propósito preciso en las matemáticas, ya que las matemáticas son y deben ser independientes de cualquier tipo de medida del mundo real (aunque las medidas del mundo real puedan guiar nuestra intuición en las matemáticas). El principal problema es el antiguo escenario de la pregunta iterada "¿por qué?". Al iterar suficientemente la pregunta "¿por qué?" (que es una pregunta legítima), siempre acabarás en un terreno donde la única salida es responder con "axiomas", simplemente no hay otra manera si quieres seguir dentro del ámbito de las matemáticas puras. Y aunque nunca pienso en los axiomas y nunca los he usado, entiendo que sirven a un propósito, que para mí es uno obvio que las personas deberían aceptar si quieren entender verdaderamente la naturaleza de las matemáticas y su distinción de la ciencia, la cual es intrínsecamente empírica.