¿Las matemáticas requieren axiomas?

Question

Acabo de leer todo este artículo: http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/SetTheory.pdf
que también se discute aquí: ¿Los conjuntos infinitos no existen!?

Sin embargo, el párrafo que encontré más interesante no se discute realmente allí. Creo que este párrafo ilustra dónde la mayoría (léase: cerca de todos) de los matemáticos discrepan fundamentalmente con el Profesor NJ Wildberger. Debo admitir que soy un estudiante de primer año de matemáticas y realmente no sé lo suficiente como para tomar partido aquí. ¿Podría alguien explicarme aquí por qué sus argumentos son o no son correctos?

Estas ediciones se hicieron después de la respuesta de Asaf Karagila.
Edit $\;$ He acortado un poco la cita, ¡espero que esta pregunta pueda ser reabierta! El párrafo completo se puede leer en el enlace de arriba.
Edit $\;$ He enumerado las citas de su artículo que encuentro más interesantes:

• El trabajo [de un matemático puro] es investigar la realidad matemática del mundo en el que vivimos.
• Para Euclides, un axioma era un hecho lo suficientemente obvio como para no requerir una demostración.

Y de una discusión con el autor en internet:

Usted comparte con nosotros la asunción moderna común de que las matemáticas se construyen a partir de "axiomas". No es una posición con la que Newton, Euler o Gauss tendrían mucha simpatía, en mi opinión. En este curso, lentamente aprenderemos a apreciar que definiciones claras y cuidadosas son un comienzo mucho más preferible para el estudio de las matemáticas.

Lo que me lleva a la siguiente pregunta: ¿Es cierto que con las matemáticas modernas es menos importante que un axioma sea autoevidente? Me suena que las matemáticas antiguas estaban mucho más relacionadas con la física de lo que lo están hoy. ¿Es esto cierto?

¿Las matemáticas requieren axiomas?

Las matemáticas no requieren "Axiomas". El trabajo de un matemático puro no es construir algún elaborado castillo en el cielo y proclamar que se mantiene en pie gracias a algunas suposiciones arbitrariamente elegidas. El trabajo es investigar la realidad matemática del mundo en el que vivimos. Para esto, no se necesitan suposiciones. La observación cuidadosa es necesaria, definiciones claras son necesarias, y el uso correcto del lenguaje y la lógica son necesarios. Pero en ningún momento es necesario comenzar a invocar la existencia de objetos o procedimientos que no podemos ver, especificar o implementar.

La gente usa el término "Axioma" cuando a menudo realmente quieren decir definición. Así, los "axiomas" de la teoría de grupos son en realidad solo definiciones. Decimos exactamente lo que queremos decir con un grupo, eso es todo. No hay suposiciones en ninguna parte. En ningún momento decimos o deberíamos decir, "Ahora que hemos definido un grupo abstracto, asumamos que existen".

Quizás Euclides haya llamado a ciertas de sus afirmaciones iniciales Axiomas, pero él tenía algo diferente en mente. Euclides tenía muchos hechos geométricos que quería organizar de la mejor manera posible en un marco lógico. Se tuvieron que tomar muchas decisiones sobre un orden conveniente de presentación. Decidió acertadamente que los hechos más simples y básicos deberían aparecer antes que los complicados y difíciles. Así que inventó organizar las cosas de manera lineal, con la mayoría de las Proposiciones que siguen a las anteriores por razonamiento lógico solo, con la excepción de ciertas afirmaciones iniciales que se consideraban evidentes por sí mismas. Para Euclides, un axioma era un hecho lo suficientemente obvio como para no requerir una prueba. Este es un significado bastante diferente al uso del término hoy. Aquellos formalistas que afirman que siguen los pasos ilustres de Euclides al convertir las matemáticas en un juego jugado con símbolos a los que no se les ha dado significado están distorsionando la situación.

Y sí, está bien, la hipótesis del continuo realmente no necesita ser verdadera o falsa, pero se permite flotar en alguna tierra de nadie, inclinándose en una dirección u otra dependiendo de en qué creas. La prueba de Cohen de la independencia de la hipótesis del continuo de los "Axiomas" debería haber sido el largo despertar pendiente.

Cada vez que surgen discusiones sobre los fundamentos de las matemáticas, rendimos homenaje a los "Axiomas" de Zermelo-Fraenkel, pero ¿realmente los usamos? Casi nunca. Con la notable excepción del "Axioma de Elección", apuesto a que menos del 5% de los matemáticos han empleado explícitamente uno de estos "Axiomas" en su trabajo publicado. El matemático promedio probablemente ni siquiera pueda recordar los "Axiomas". Creo que soy típico, en dos semanas los habré retirado a su lugar habitual en algún lejano campo de mi memoria, en su mayoría más allá del recuerdo.

En la práctica, los matemáticos que trabajan están bastante conscientes de las contradicciones latentes con la "teoría de los conjuntos infinitos". Hemos aprendido a mantener a distancia a los demonios, no confiando en los "Axiomas", sino más bien desarrollando convenciones e intuiciones que nos permitan evitar las trampas más obvias. Si huele que puede haber un "conjunto infinito" problemático por ahí, rápidamente usamos el término "clase". Por ejemplo: Una topología es una "clase de equivalencia de atlas". Por supuesto, la mayoría de nosotros no podríamos especificar exactamente qué constituye o qué no constituye una "clase", y aprendemos a no plantear tales preguntas en compañía.

Answer 1

¿Es verdad que con las matemáticas modernas está volviéndose menos importante que un axioma sea autoevidente?

Sí y no.

Sí

en el sentido de que ahora nos damos cuenta de que todas las demostraciones, al final, se reducen a los axiomas y reglas de deducción lógica que se asumieron al escribir la demostración. Para cada afirmación, hay sistemas en los que la afirmación es demostrable, incluyendo específicamente los sistemas que asumen la afirmación como un axioma. Por lo tanto, ninguna afirmación es "indemostrable" en el sentido más amplio, solo puede ser indemostrable en relación con un conjunto específico de axiomas.

Cuando miramos las cosas de una manera completamente general, de esta manera, no hay razón para pensar que los "axiomas" de cada sistema serán autoevidentes. Ha habido un cambio paralelo en el estudio de la lógica lejos del punto de vista tradicional de que debería haber una "lógica" correcta única, hacia el punto de vista moderno de que existen múltiples lógicas que, aunque incompatibles, son interesantes en ciertas situaciones.

No

en el sentido de que los matemáticos dedican su tiempo a lo que les interesa, y pocas personas están interesadas en estudiar sistemas que sienten que tienen axiomas inverosímiles o sin sentido. Por lo tanto, se necesita algo de motivación para interesar a los demás. El hecho de que un axioma parezca autoevidente es una forma que puede tomar esa motivación.

En el caso de ZFC, hay un argumento bien conocido que pretende mostrar cómo los axiomas son, de hecho, autoevidentes (con la excepción del axioma de reemplazo), mostrando que los axiomas son válidos en una concepción pre-formal de la jerarquía acumulativa. Este argumento se presenta, por ejemplo, en el artículo de Shoenfield en el Manual de Lógica Matemática.

Otro análisis profundo del estado de la axiomatica en los fundamentos contemporáneos de las matemáticas es "¿Necesita la matemática nuevos axiomas?" por Solomon Feferman, Harvey M. Friedman, Penelope Maddy y John R. Steel, Boletín de Lógica Simbólica, 2000.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: No leí la comilla original completa en detalle, la pregunta ha sido editada desde entonces y la cita se acortó. Mi respuesta se basa en el título, la introducción y algunos párrafos de la comilla [original].

Las matemáticas, las matemáticas modernas se centran mucho en el rigor. Después de varios milenios donde las matemáticas se basaban en la intuición, y eso dio algunos resultados, llegamos a un punto donde se necesitaba rigor.

Una vez que se necesita rigor, no se puede simplemente "hacer cosas". Uno debe obedecer un conjunto particular de reglas que definen lo que constituye una prueba legítima. Es cierto, no escribimos todas las pruebas de una manera completamente rigurosa, y a veces cometemos errores debido a la negligencia en los detalles.

Sin embargo, necesitamos un marco rígido que nos diga qué es el rigor. Los axiomas son el resultado directo de este marco, porque los axiomas son realmente solo suposiciones con las que no vamos a discutir (por el momento de todos modos). Es una palabra que usamos para distinguir algunas suposiciones de otras suposiciones, dándoles así un estatus de "suposiciones que no deseamos cambiar muy a menudo".

Debería agregar dos puntos también.

1. No estoy viviendo en un mundo matemático. La última vez que revisé, tenía brazos y piernas, no objetos matemáticos. Me comí la cena y no algún funtor derivado. Y estoy usando una computadora para escribir esta respuesta. Todas estas cosas no son objetos matemáticos, son objetos físicos.

   Dado que no estoy viviendo en el mundo matemático, sino en el mundo físico, no veo ninguna necesidad de insistir en que las matemáticas describan el mundo en el que estoy. Prefiero hablar sobre las matemáticas en un marco donde tengo reglas que me ayudan a decidir si algo es o no una deducción razonable.

   Por supuesto, si estuviera discutiendo cuántos teclados tengo en mi escritorio, o cuántos altavoces están conectados a mi computadora en este momento, entonces por supuesto no tendría ningún problema en abandonar el rigor. Pero desafortunadamente muchas cosas en las matemáticas modernas tratan con objetos infinitos y muy generales. Estos objetos desafían toda intuición y cuando no se trabaja rigurosamente, los errores aparecen más a menudo de lo que deberían, como nos enseñó la historia.

   Así que hay que decidir: hacer matemáticas sobre los objetos en mi escritorio, o en mis armarios de cocina; o adherirse al rigor y a los axiomas. Creo que esta última es una mejor opción.

2. Hablé con más de un estudiante de doctorado en ciencias de la computación que hizo su Maestría en ciencias matemáticas (y algunas personas que solo estudiaron parte de su licenciatura en matemáticas, y el resto en ciencias de la computación), y todos estuvieron de acuerdo en una cosa: la ciencia de la computación carece de la definición de prueba y rigor, y se vuelve realmente difícil seguir algunos resultados.

   Por ejemplo, uno de ellos me contó que escuchó una serie de conferencias de alguien que tiene una experiencia de renombre mundial en un tema particular, y esa persona cometió un error horrible en la prueba de un lema muy trivial. Por supuesto, el lema era correcto (y ese amigo mío se sentó a escribir una prueba), pero ¿realmente podemos permitir la negligencia así? En informática, muchos resultados luego se aplican en código y se ponen a prueba. Por supuesto, eso no prueba su corrección, pero da una sensación de "lo suficientemente bueno".

   ¿Cómo se supone que debemos, en matemáticas, probar nuestras pruebas sobre objetos intangibles? Cuando escribimos un argumento inductivo. ¿Cómo se supone que debemos comenzar a probarlo? Aquí hay un ejemplo: todas las expansiones decimales de enteros son más cortos que $2000^{1000}$ dígitos decimales. Desafío a alguien a escribir un entero que sea mayor que $10^{2000^{1000}}$ explícitamente. ¡No se puede hacer en el mundo físico! ¿Significa eso que esta afirmación absurda es correcta? No, no lo es. ¿Por qué? Porque nuestra intuición sobre los enteros nos dice que son infinitos y que todos tienen expansiones decimales. Sería absurdo suponer lo contrario.

Es importante darse cuenta de que los axiomas no son solo los axiomas de la lógica o de $\sf ZFC$. Los axiomas están por todas partes. Estas son las definiciones de los objetos matemáticos. Tenemos axiomas de un espacio topológico, y axiomas para una categoría y axiomas de grupos, semigrupos y cohomologías.

Ignorar ese hecho es enterrar la cabeza en la arena e insistir en que los axiomas son solo para lógicos y teóricos de conjuntos.

Answer 3

Al parecer, muchas personas consideran la opinión del autor como ingenua o no informada. No estoy de acuerdo.

Hay una frase bien conocida atribuida a Kronecker (presumiblemente originalmente en alemán, y tal vez estoy ligeramente citando mal la traducción al inglés también) que "Dios creó los números naturales, y todo lo demás es obra del hombre". Esta es (en mi opinión) una declaración esencialmente anti-axiomática, que se alinea bastante cercanamente con el punto de vista en el ensayo en consideración, es decir que las matemáticas son la investigación de ciertos objetos "dado(s) por dios", como los números naturales, o el grupo de Lie $G_2$ (para tomar un ejemplo del ensayo).

Esta vista es en parte platonista (en el sentido en que generalmente se usa ese término en este tipo de discusiones, refiriéndose a una creencia en una realidad matemática no formal) y en parte constructivista. Es una con la que personalmente simpatizo, y creo que no estoy solo en eso. Considero a ZFC como un marco conveniente para hacer matemáticas, pero no como la base real subyacente a las matemáticas que hago; los números naturales y la investigación de sus propiedades son (en mi opinión) mucho más fundamentales que ZFC u otros sistemas axiomáticos que podrían codificarlos, ¡y lo mismo ocurre con $G_2$ (de nuevo en mi opinión)!

Mi opinión podría ser minoritaria entre los matemáticos en activo (realmente no lo sé), pero sé que no soy el único que la tiene. También conozco a otros que creen sinceramente que todo lo que hacen se basa en ZFC, y que esto es de crucial importancia.

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Otra cosa: a menudo se dice que aunque muchos matemáticos no invocan explícitamente los axiomas de ZFC en su trabajo, están implícitamente apoyándose en esas bases. Personalmente, no encuentro esto convincente; creo que a menudo sucede que aquellos que sí creen que todo descansa necesariamente en ZFC encuentran fácil interpretar lo que hacen los demás como que (implícitamente) descansan en esas bases. Pero aquellos que no creen esto tampoco aceptarán las afirmaciones de que su trabajo implícitamente se apoya en esas bases.

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Sólo para ser claro, por cierto: mis comentarios aquí no pretenden aplicarse a cosas como teoremas en teoría de grupos, álgebra conmutativa, o teoría de Lie, donde uno deriva consecuencias de los axiomas que una estructura satisface (aunque podrían aplicarse en ciertos contextos donde intervienen cuestiones de teoría de conjuntos); obviamente, los axiomas juegan un papel, aunque, como escribe el autor, en estos contextos los axiomas podrían ser mejor interpretados como definiciones. Más bien, se aplican a los objetos básicos de las matemáticas como los números naturales, ecuaciones diofánticas, y así sucesivamente.

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También parece valer la pena mencionar algo aquí sobre lo que también comenté en otra respuesta:

No parece saberse actualmente si FLT está demostrado en PA, o solo en alguna axiomatización más sofisticada de los números naturales. Por otro lado, no hay duda entre los teóricos de números de que la demostración es correcta. ¿Cómo es posible tal situación? En mi opinión, es porque la gente finalmente verifica la prueba no al verificar que sea consistente con una lista especificada de axiomas, sino al verificar que se ajusta a su intuición básica de la situación, una intuición que existe antes de cualquier axiomatización.

Al final, presumiblemente será posible aislar precisamente esas propiedades de los números naturales que se utilizan en la prueba, ya sea los axiomas de PA o algo más fuerte, ¡pero mi punto es que se sabe que la prueba es correcta aunque no se sepa qué propiedades precisas de $\mathbb N$ se están utilizando! Esto se debe a que podemos discutir sobre $\mathbb N$ basándonos en nuestra comprensión intrínseca de ella, sin tener que codificar todos los aspectos de esa comprensión que usamos de forma axiomática precisa.

Answer 4

[La] suposición común moderna de que las matemáticas se construyen a partir de "axiomas" ... no es una posición con la que Newton, Euler o Gauss hubieran tenido mucha simpatía, en mi opinión. ... Las definiciones claras y cuidadosas son un comienzo mucho más preferible para el estudio de las matemáticas.

Pero las mismas razones para oponerse a un modelo de conocimiento matemático "primero establezca algunos axiomas y vea qué sigue" se aplican igualmente a un modelo de "primero fije las definiciones". Las definiciones no se establecen desde el principio, de una vez por todas, "grabadas en piedra", sino que a menudo tienen que ajustarse a medida que exploramos demostraciones exitosas y fallidas. Qué definiciones es fructífero usar es algo que los matemáticos descubren mediante exploración, prueba y error.

Hay una discusión famosa y maravillosamente estimulante sobre la forma en que crece el conocimiento matemático y la forma en que nuestros axiomas y definiciones se refinan juntos a medida que avanzamos, en Pruebas y Refutaciones de Imre Lakatos (1976), que algún estudiante de matemáticas debería leer en algún momento.

Answer 5

Para la mayoría de los propósitos, axioma, definición, teorema, postulado, lema, corolario, proposición y todos los demás términos similares son simplemente pedagogía, y no hay prácticamente contenido matemático en la distinción entre ellos. (aunque "axioma" y "teorema" tienen un significado técnico preciso en el contexto de la lógica formal. Pero se aplican las advertencias habituales sobre mezclar significados formales e informales)

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Soy uno de esos formalistas a los que el autor critica. Soy un formalista porque reconozco lo siguiente.

Los argumentos involucran hipótesis y reglas de inferencia. En cuanto a las hipótesis, tenemos dos enfoques básicos:

• Uno puede declarar las hipótesis desde el principio,
• Uno puede inventarlas sobre la marcha.

En cuanto a las inferencias, tenemos dos enfoques básicos:

• Uno puede declarar las reglas de inferencia aceptables desde el principio,
• Uno puede inventarlas sobre la marcha.

En ambos casos, un enfoque es mucho más convincente que el otro. :)

Cuando una persona dice cosas como

un hecho que era lo suficientemente obvio como para no requerir una prueba

el único contenido con sentido es la afirmación "asumiré esta declaración"; todo lo demás es puramente retórico, y solo tiene peso si te adhieres a la retórica.

(Suponiendo, por supuesto, que no consideres que "Wildberger piensa que Euclides pensaba que algo era obvio" sea un argumento lógicamente válido para alguna conclusión. E incluso si piensas algo así, aplicar correctamente un regla de inferencia así puede ser muy difícil)

No importa si realmente creemos que las matemáticas son un juego sin sentido o algo que nos dice sobre la "realidad del mundo en el que vivimos"; de cualquier manera, habrá declaraciones que aceptemos, reglas de inferencia que aceptemos y otras declaraciones que deduzcamos de estas. Y si hacemos un buen trabajo poniendo todas las hipótesis desde el principio y eliminando el adorno superfluo, ni siquiera puedes diferenciar entre las dos filosofías.