Determinando $\frac{d^2\arcsin(2x)}{dx^2}$

Question

Estoy golpeando mi cabeza contra la pared tratando de entender cómo diferenciar esto.

$$f(x) = \frac{d^2\arcsin(2x)}{dx^2}$$

¿Alguien puede por favor tomarme de la mano a través de esto? Entiendo que $\arcsin(2x) = \sin^{-1}(2x)$.

¿Esto es diferenciación implícita?

Answer 1

Que $y=\arcsin(2x)$. Entonces $$2x=\sin y\tag1$$ y la diferenciación implícita con respecto a $x$ da $$2=(\cos y)\frac{dy}{dx}\ .\tag2$$ Diferenciando nuevamente, $$0=(\cos y)\frac{d^2y}{dx^2}-(\sin y)\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2\ .\tag3$$ Ahora puedes usar $(3)$ para obtener una fórmula para $\frac{d^2y}{dx^2}$ en términos de $y$ y $\frac{dy}{dx}$; usa $(2)$ para eliminar $\frac{dy}{dx}$; y usa $(1)$ para eliminar $y$, dando una respuesta en términos de $x.

¡Buena suerte!

Answer 2

La realización de que $\arcsin(2x) = \sin^{-1}(2x)$ no te dirá nada. Eso es como decir $y'(x) = \frac{dy}{dx}$. Ambas son formas equivalentes de decir lo mismo. Estoy convencido de que $ \sin^{-1}(2x)$ es una notación abusiva porque parece $\frac{1}{\sin(2x)}$. En cualquier caso, tu tarea es resolver $$\frac{d^2 \arcsin(2x)}{dx^2} = \frac{d^2}{dx^2}(\arcsin(2x))$$ así que necesitas encontrar la segunda derivada de $\arcsin(2x)$. La diferenciación implícita es probablemente la mejor manera de encontrar la derivada de $\arcsin(2x)$, a menos que tengas la derivada memorizada. Terminarás con una fracción que involucra una raíz cuadrada después de tomar la primera derivada, por lo que tu mejor opción para la segunda derivada sería usar la regla del cociente o la regla del producto.

Answer 3

Consejos:

Ten en cuenta que $(\arcsin (2x))'=\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \times 2$; y $f(x)= (\arcsin (2x))'' = (\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}})'= 8x{(1-4x^2)}^{\frac{-3}{2}}$