Cocientes nilpotentes de un grupo residuamente nilpotente

Question

Estoy trabajando en un problema que requiere tomar cocientes por subgrupos normales que no se intersecan con un conjunto finito de miembros de un grupo $G$. ¿Existe una colección conocida de grupos que siempre permita tomar cocientes por subgrupos normales progresivamente más pequeños de manera que los subgrupos normales no se intersequen con un conjunto progresivamente más grande de elementos del grupo y el cociente sea nilpotente?

Me he encontrado con la noción de grupos residuamente nilpotentes. ¿Tienen esta propiedad? En particular, aquí está la definición de grupo residuamente nilpotente. Mi pregunta sobre ellos sigue.

Un grupo es residuamente nilpotente si dado cualquier elemento no identidad, existe un subgrupo normal que no contiene ese elemento, de manera que el grupo cociente sea nilpotente.

Me pregunto si es posible escapar de un conjunto finito de elementos no identidad en lugar de solo uno. Es decir, si la siguiente afirmación es verdadera: si $G$ es residuamente nilpotente, entonces dado cualquier conjunto finito de elementos no identidad, existe un subgrupo normal que no contiene esos elementos, de manera que el grupo cociente sea nilpotente.

Si no es así, ¿hay una colección de grupos para los cuales esta afirmación sea verdadera? ¿Esta colección de grupos es estrictamente más grande que la colección de grupos virtualmente nilpotentes?

Answer 1

Supongamos que $G$ es residuamente nilpotente. Sean $a_{1}, \dots, a_{n} \in G$. Entonces existen subgrupos normales $N_{i}$, tal que $a_{i} \notin N_{i}$ y $G/N_{i}$ es nilpotente.

Sea $N = \bigcap \{ N_{i} : i = 1, \dots, n\}$. Entonces $a_{i} \notin N$ para todo $i$, y $$G/N \text{ es isomorfo a un subgrupo de } \prod_{i=1}^{n} G/N_{i},$$ siendo este último nilpotente como producto de grupos nilpotentes.