Calculando la Media y la Función de Autocovarianza de una Serie Temporal Piecewise

Question

Estoy tomando una clase introductoria sobre series de tiempo y este fue un problema práctico asignado para la primera semana (no es tarea).

Considera la siguiente serie de tiempo ($w_t$ es una Normal($0, 1$) iid.):

$x_t = w_t$ para $t = 1, 3, 5, 7,...$ y

$x_t = \frac{1}{\sqrt{2}}(w_{t-1}^2 -1)$ para $t = 2, 4, 6, 8,...$

Encuentra la función de media y la función de autocovarianza para $x_t$. ¿Son $x_1$ y $x_2$ distribuidos de manera idéntica?

Para la función de media, estoy atascado en encontrar la esperanza de $w_{t-1}^2$. Esto es lo que tengo hasta ahora:

$\mu_{x_t} = E(x_t$) = $0$, si $t$ es un número impar (ya que la esperanza del ruido blanco es $0$, ¿verdad?), y $\mu_{x_t} = E(\frac{1}{\sqrt{2}}(w_{t-1}^2 -1))$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}E(w_{t-1}^2) - E(\frac{1}{\sqrt{2}})$, si $t$ es un número par. Para la parte par de la función de media, ¿es la esperanza de $w_{t-1}^2$ simplemente $0$? Creo que $w_{t-1}^2$ es simplemente ruido blanco, pero no sé si tengo razón.

Para la función de autocovarianza, ¿hay 3 casos posibles? $t$ puede ser impar o par. En cualquier caso, si $h = 0, 2, 4, 6$... (es decir, número par), entonces la autocovarianza sería simplemente la varianza. Entonces, para los casos donde $h$ es impar, la autocovarianza sería Cov$(x_t, x_{t + h})$ = Cov$(x_{t + h}, x_t)$. ¿Estoy en el camino correcto con esta línea de pensamiento? Si es así, entonces la covarianza sería Cov$(w_t, \frac{1}{\sqrt{2}}(w_{t-1}^2 -1)$ $=$ Cov$(w_t, \frac{1}{\sqrt{2}}(w_{t-1}^2))$ $-$ Cov$(w_t, w_t)$, ¿verdad?

Cualquier guía sobre este problema y la verificación (o corrección) de mi línea de pensamiento sería muy útil. Gracias.

Answer 1

Claramente para $t$ impar: $$E(x_t)=E(w_t)=0$$y para $t$ par: $$E(x_t)=\dfrac{1}{\sqrt 2}E(w_{t-1}^2-1)=\dfrac{1}{\sqrt 2}(\sigma_{w_{t-1}}^2-1)=\dfrac{1}{\sqrt 2}(1-1)=0$$Además: $$C(t_1,t_2)=E((x_{t_1}-E(x_{t_1}))(x_{t_2}-E(x_{t_2})))=E(x_{t_1}x_{t_2})$$según la definición para $t_1$ y $t_2$ distintos, $x_{t_1}$ y $x_{t_2}$ son dependientes solo si $t_1$ es par y $t_2=t_1+1$ o si $t_2$ es par y $t_1=t_2+1$. Supongamos el primer caso. Entonces $t_1=t$ es par y $t_2=t+1$ es impar, por lo que: $$C(t,t+1)=E(x_tx_{t+1})=E(x_tx_{t+1})=\dfrac{1}{\sqrt 2}E(w_t^3-w_t)=0$$Así que la función de covarianza es cero para $t_1$ y $t_2$ distintos y para $t_1=t_2=t$ tenemos: $$C(t,t)=E(x^2_t)$$para $t$ impar: $$C(t,t)=E(w_t^2)=1$$y para $t$ par: $$C(t,t)=\dfrac{1}{2}E(w^4_{t-1}-2w^2_{t-1}+1)=\dfrac{1}{2}(E(w^4_{t-1})-1)=\dfrac{1}{2}(3-1)=1$$y finalmente obtenemos: $$C(t_1,t_2)=\delta[t_1-t_2]$$donde $\delta[n]=1$ para $n=0$ y cero en otros casos.

Para la segunda pregunta tenemos que $$x_1=w_1$$ y $$x_2=\dfrac{1}{\sqrt 2}(w_1^2-1)$$ así que $x_1$ puede variar en $(-\infty,\infty)$ pero $x_2$ puede variar en $[-\dfrac{1}{\sqrt 2},\infty)$, por lo que no pueden tener la misma distribución.