Cómo calcular la dimensión de $O(n, \mathbb{R})$

Question

Sea $f:GL(n,\mathbb{R})\to GL(n,\mathbb{R})$ la función suave $A\mapsto A^TA$. Observamos que $f$ tiene rango constante en $GL(n,\mathbb{R})$ por regla de la cadena y que $O(n,\mathbb{R})$ es la preimagen de $I$, por lo tanto es una subvariedad regular.

Para calcular la dimensión de $O(n,\mathbb{R})$, basta con calcular el rango de $f$ en cualquier punto, por ejemplo en $I$. En una elección apropiada de bases, la matriz de $Df|_{I}$ está dada por $$\left[\frac{\partial f^{ij}}{\partial x^{kl}}|_I\right]$$ donde $(i,j)$ con $1\le i,j\le n$ da el índice de la fila y $(k,l)$ con $1\le k,l\le n$ da el índice de la columna.

Entonces, ¿cómo sigo a partir de aquí realmente?

Answer 1

La dimensión de $O(n)$ y $SO(n)$ es $\frac{n^2-n}{2}$. Esto se ve mejor al calcular su álgebra de Lie $\mathfrak{so}(n)$, que obviamente tiene una dimensión de espacio vectorial de $\frac{n^2-n}{2}$. Para más detalles, consulta, por ejemplo, aquí. Mira también la respuesta en la pregunta Muestra que un grupo ortogonal es una variedad de $C^\infty$ de dimensión $\frac{n(n−1)}{2}$ y encuentra su espacio tangente.

Answer 2

Se debe tener en cuenta que el anterior $f$ puede considerarse como $f: M_{n \times n} \mathbb{R} \to Sym_{n \times n} \mathbb{R}$. No es muy difícil demostrar que esto hace que $I$ sea un valor regular de $f$ (ver explicación a continuación), por lo tanto $$\dim O_n (\mathbb{R}) = \dim f^{-1}(I) = \dim M_{n \times n} \mathbb{R} - \dim Sym_{n \times n} \mathbb{R} = n ^ 2 - \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n-1)}{2}.$$ Para demostrar que $I \in Sym_{n \times n}(\mathbb{R})$ es realmente un valor regular de $f$, primero se muestra que $$df_I: T_I M_{n \times n} \mathbb{R} \to T_I Sym_{n \times n} \mathbb{R}$$ es sobreyectivo, mediante un cálculo directo. Luego, dado $O \in O_n(\mathbb{R})$, sea $L_O: M_{n \times n}\mathbb{R} \to M_{n \times n} \mathbb{R}$ la multiplicación izquierda por $O$, y observe que $f = f \circ L_O$. Dado que $L_O$ es claramente un difeomorfismo, se sigue que $df_{O^{-1}} = df_I \circ {dL_O}_{O^{-1}}$ es sobreyectivo.