Demostrar que $2^{4n}+3n-1$ es divisible por 9

Question

Necesito ayuda con este ejercicio.

Demuestra que $2^{4n} + 3n - 1$ es divisible por 9 para todos los valores enteros positivos de n mayores que 1.

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Sé que $n=k$: $2^{4k}+3k-1=9m$

entonces,

Para $n=k+1$

$$2^{4(k+1)}+3(k+1)-1=2^{4}2^{4k}+3k+3-1$$ No sé cómo continuar, tal vez $$=(2^{4k}+3k-1)+(15 . 2^{4k}+3 )$$

Answer 1

Probar que $2^{4n} + 3n \equiv 1 \pmod{9}$ es equivalente a tu problema.

\begin{equation} 2^{4n} + 3n \equiv (-2)^n +3n \equiv 1 \pmod{9} \end{equation}

Para $n \equiv 0 \pmod{3}, (-2)^n \equiv 1\pmod{9}$ y $3n \equiv 0\pmod{9}\Rightarrow (-2)^n +3n \equiv 1 \pmod{9}$

Para $n \equiv 1 \pmod{3}, (-2)^n \equiv -2\pmod{9}$ y $3n \equiv 3\pmod{9}\Rightarrow (-2)^n +3n \equiv 1 \pmod{9}$

Para $n \equiv 2 \pmod{3}, (-2)^n \equiv 4\pmod{9}$ y $3n \equiv -3\pmod{9}\Rightarrow (-2)^n +3n \equiv 1 \pmod{9}$

Para todo $n$, $(-2)^n +3n - 1 \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow 9 \mid 2^{4n} +3n - 1$

Answer 2

Todo $\pmod 9$

$$\begin{array} {c|c|c} n & 2^{4n}=7^n & 3n \\ \hline 1 & 7 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{array}$$

$$7 + 3 = 1$$ $$4 + 6 = 1$$ $$1 + 0 = 1$$

Answer 3

Otras respuestas pueden ser más simples, pero asumiré que no conoces aritmética modular formal y me ceñiré solamente a la prueba por inducción.

Sabemos que $2^{4n}+3n-1$ es un múltiplo de $9$ y

$$\begin{align}2^{4(n+1)}+3(n+1)-1-(2^{4n}+3n-1)&=16\times 2^{4n}+3n+3-1-(2^{4n}+3n-1)\\&=15\times 2^{4n}+3\\ 2^{4n+1}+3(n+1)+1&=(2^{4n}+3n-1)+(15\times 2^{4n}+3)\end{align}$$

entonces se sigue que $2^{4(n+1)}+3(n+1)-1$ es un múltiplo de $9$ si y solo si $15\times 2^{4n}+3$ lo es (para todo $n$).

Podemos probar esta nueva afirmación por inducción: el caso inductivo es $$\begin{align}15\times 2^{4(n+1)}+3&=16\times 15\times 2^{4n}+3\\&=16(15\times 2^{4n}+3)-45\end{align}$$ y sabemos que tanto $15\times 2^{4n}+3$ como $45$ son múltiplos de $9$ (el primero usando la hipótesis inductiva).

Ahora solo queda el caso base de $15\times 2^{4n}+3$ (¿qué valor de $n$ sería ese?).