Funciones trigonométricas y Aritmética Modular

Question

Estaba jugando en Wolfram Alpha e ingresando funciones como $$f(x)=2^{x}\bmod{x}$$ para ver cómo podrían lucir algunos gráficos simples. Wolfram también devolvió cosas muy interesantes como una expansión en serie para la expresión $$f(x) = 2^{x} \bmod{x} = \frac{x}{2}- \frac{x}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\sin{\left(\frac{2^{x+1}k\pi}{x}\right)}$$ para $x\in \Bbb{R} \setminus \Bbb{Z}$ y $$ 2^x \bmod{x} = \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{x-1} \cot{\left(\frac{k \pi}{x}\right)} \sin{\left(\frac{2^{x+1}k \pi}{x}\right)}$$ para $x\in\Bbb{Z_{+}}$ y $\frac{2^x}{x} \notin \Bbb{Z}$. Esta expresión parece salir de la nada. Entonces, mis preguntas son:

1. ¿Cómo se deriva una serie para una expresión aparentemente simple como esta?
2. ¿Hay alguna literatura que alguien pueda sugerir sobre cómo escribir funciones módulo n en forma de serie?

Answer 1

Lo que está sucediendo aquí es que el módulo se está tomando en el sentido de "sumar o restar $x$ hasta que el valor esté dentro de un cierto rango", y luego se aplica una serie de Fourier a partir de ahí.

Podemos fácilmente, usando la Transformada Finita de Fourier, mostrar que, para $x\not\in \mathbb{Z}$, $$ x-\lfloor x\rfloor = \frac12 -\frac1\pi \sum_{k=1}^\infty \frac1k \sin\left(k\pi x\right) $$ y a partir de aquí, es fácil llegar a lo que necesitamos, ya que $$ a\text{ mod } b = a - b\lfloor a/b\rfloor $$ lo que da $$ 2^x\text{ mod } x = x\left(\frac12 - \frac1\pi \sum_{k=1}^\infty \frac1k\sin\left(k\pi\frac{2^x}x\right)\right) $$ que coincide con la primera expresión que te dio Wolfram Alpha. Sin embargo, cuando $x$ es un número entero, podemos simplificar la expresión, porque para cualquier entero $n$ la función $\sin$ toma el mismo valor en $k=n+mx$ para todos los enteros $m$, y resulta que podemos expresar el resultado como se describe en la segunda expresión.

Tenga en cuenta que el caso de $\frac{2^x}x\in\mathbb{Z}$ causa un problema, porque en esa situación, $x-\lfloor x\rfloor = 0$ mientras que la serie de Fourier da $\frac12$. Pero dado que el resultado siempre es cero allí, no es gran problema.