Convergencia uniforme para un cociente de dos secuencias convergentes uniformemente

Question

Me pregunto si la convergencia uniforme puede mantenerse si tenemos una forma indeterminada $0/0$ para ciertos valores de $x$ para la función límite.

Más específicamente, sean $f_n$ y $g_n$ dos secuencias de funciones que convergen uniformemente a las funciones $f$ y $g$, respectivamente, donde $g(x)=0$ siempre que $f(x)=0$, de manera que $lim_{t\rightarrow x}{f(t)/g(t)}$ existe y es distinto de cero. ¿Es $f_n/g_n$ uniformemente convergente a $f/g$ en un conjunto que contiene cualquier cero de $f$ y $g$?

Entiendo que hay preocupaciones de discontinuidades removibles aquí, pero mi pensamiento es que esto no afectaría a la convergencia. He intentado investigar sobre la convergencia uniforme y no he visto ninguna mención de escenarios de $0/0$, por lo que siento que el resultado no es cierto.

Answer 1

Tienes que ser más específico con tu conjunto: considera el conjunto $[1,\infty)$ y las funciones $$f_n(x) = \frac{1}{x+n} \quad g_n(x) = \frac{1}{x+2n}.$$ Es claro que $f_n, g_n \to 0$, pero $\lim_{n \to \infty} \frac{f_n(x)}{g_n(x)} = 2.$

Sin embargo, es claro que esta convergencia nunca puede ser uniforme.

Edita 1: considera $$f_n(x) = \frac{1}{x+n} + (x-1) \quad g_n(x) = \frac{1}{x+2n} + (x-1).$$

Es claro que $\lim_{t \to x}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$ para todo $x\geq 1.$

Ambos $f_n(x),g_n(x) \to x-1$ uniformemente. Nota que $$\frac{f_n(x)}{g_n(x)} = \frac{\frac{x+2n}{x+n}+(x-1)(x+2n)}{1+(x-1)(x+2n)}.$$

Cuando $x \neq 1$, $\lim_{n \to \infty}{f_n(x)}{g_n(x)} = 1$.

Sin embargo, cuando $x = 1$, $\lim_{n \to \infty}{f_n(1)}{g_n(1)}=2.$

¿Esto cumple con tu criterio?