Función periódica continua con serie de Fourier que se comporta como $1/n$?

Question

¿Es posible tener una función periódica continua cuya serie de Fourier $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ sea tal que $$ n . a_n \rightarrow 1?$$

Sé que existen funciones periódicas continuas con series de Fourier no sumables, pero sospecho que la secuencia no puede tener el comportamiento asintótico propuesto.

Edit. Mi pregunta inicial era para la condición $ |n . a_n |\rightarrow 1$, para la cual Conrad proporciona ejemplos claros de funciones continuas abajo, jugando con la fase de $a_n$.

Answer 1

Mucho más es cierto, a saber, hay funciones periódicas continuas para las cuales $\Sigma{|a_n|^{(2-\epsilon)}}$ diverge para cualquier $\epsilon$ positivo

La construcción comienza analizando la serie de Hardy-Littlewood: $\Sigma e^{(icn\log n)}\frac {e^{inx}}{n^{\frac{1}{2}+\alpha}}$, donde $n \geq 1$, $\alpha$ es real, $c>0$ y mostrando, por ejemplo, que converge uniformemente (por lo tanto, a una función periódica continua en $[0, 2\pi]$) para $0 < \alpha <1$, función que de otra manera es bastante complicada; en particular, cuando $\alpha = \frac{1}{2}$, se obtiene tu ejemplo requerido.