Deje que $ G $ sea un grupo no trivial que tenga al menos un elemento de orden finito. Demuestre que su gráfico de Cayley no puede ser un árbol.

Question

¿Podría alguien darme una sugerencia para resolver este problema?

Sea $G$ un grupo no trivial que tenga al menos un elemento de orden finito y $S$ cualquier conjunto de generadores. Mostrar que su grafo de Cayley no puede ser un árbol.

Answer 1

Si $g$ es ese elemento y $g^n=e$, considera un camino $P$ desde $e$ hasta $g$ en el grafo de Cayley. Entonces $gP$ es un camino de $g$ a $g^2$ eventualmente. Concatenar caminos $P$, $gP$, $g^2P,\ldots,g^{n-1}P$ da como resultado un camino cerrado no trivial en el grafo, por lo que no puede ser un árbol.