Condicionamiento utilizando más de una distribución

Question

Sea N el número de accidentes automovilísticos en un tramo específico de autopista interestatal durante un período específico. Se sabe que N tiene una distribución geométrica con pmf

$f_N(n)=x(1-x)^{n-1}$, $n=1,2,3,...$

donde x está limitado entre 0 y 1, $0< x< 1$

para el accidente número i $Y_i=1$ si el accidente contiene una fatalidad,

$Y_i=0$ si no hay fatalidad,

para cada i, $P(Y_i=1)=p$, cada $Y_i$ es independiente

Sea T el número total de accidentes con al menos una fatalidad.

Entonces, $T=Y_1 + Y_2 +...+Y_N$

Encuentra $E(T)$ y $Var(T)$, Estaba pensando que como cada $Y_i$ es bernoulli que depende de N entonces la suma de cada $E(Y_i)$ es $Nxp$ y la varianza sería la suma de $p(1-p)$ que es $Npx(1-px)$

Tal vez esto es $E(T)=E(E(T|N))=\frac{p}{x}$ luego $Var(T)=...$

Encuentra $Corr(N,T)$= $\frac{E(NT)-E(N)E(T)}{sd(T)sd(N)}$

Encuentra $P(T=0)$

Parece que me falta algo en mi análisis que me llevaría a resolver el resto del problema

Answer 1

Tienes $T\mid N\sim \mathcal{Bin}(N, p)$ y $N\sim\mathcal{Geo}_{1}(x)$ (lo que significa que se garantiza al menos un accidente en ese período).

Por lo tanto tenemos: $\;\mathsf E\big(\mathsf E(T\mid N)\big) = \mathsf E(N\,p) = \frac p x\;$ como mencionaste. (Un $\color{green}{\checkmark}$ para ti.)

De manera similar, necesitas aplicar: $\;\mathsf{Var}(T) = \mathsf E\big(\mathsf {Var}(T\mid N)\big)+\mathsf {Var}\big(\mathsf {E}(T\mid N)\big)$

(Esa es la Ley de la Varianza Iterada.)

---

$\mathsf E(T\mid N) = Np\\ \mathsf{Var}(T\mid N) = Np(1-p) \\ \mathsf E(N) = \frac 1 x\\ \mathsf {Var}(N) = \frac {1-x}{x^2}$

---

$\begin{align}\mathsf P(T=t) & = \sum\limits_{n=t}^\infty \mathsf P(N=n)\mathsf P(T=t\mid N=n) \\[1ex] & = \sum\limits_{n=t}^\infty x(1-x)^{n-1} \dbinom{n}{t} p^t (1-p)^{n-t} \\[1ex] & = \dfrac{xp^t}{ (1-x) (1-p)^t } \sum\limits_{n=t}^\infty \dbinom{n}{t} (1-x-p+xp)^n \\[1ex] & = \dfrac{ xp^t (1-x)^{t-1} }{(x+p-px)^{t+1}}\end{align}$