¿Se puede expresar $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{(b-n^2)(a-n^2)}$ en términos de funciones trigonométricas?

Question

Recientemente me topé con la suma

$$S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{(\alpha-n^2)(\beta-n^2)}.$$

Mathematica la expresa en términos de la función Digamma como

$$S=\frac{-\alpha \psi ^{(0)}(1-\alpha )+\alpha \psi ^{(0)}(\alpha +1)+\beta (\psi ^{(0)}(1-\beta )-\psi ^{(0)}(\beta +1))}{2 \left(\alpha ^2-\beta ^2\right)}.$$

Sin embargo, estoy trabajando en un artículo de física donde $S$ misteriosamente se expresa en términos de funciones trigonométricas. No veo cómo esto es posible... ¿Se simplifica de alguna manera la expresión de la función Digamma mencionada arriba? ¿O hay alguna otra forma de calcular $S$ en términos de funciones trigonométricas?

Answer 1

$$S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{(b-n^2)(a-n^2)}=\frac 1 {a-b}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a}{n^2-a}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b}{n^2-b}\right)$$ llevando a $$S=\frac{\pi \sqrt{b} \cot \left(\pi \sqrt{b}\right)-\pi \sqrt{a} \cot \left(\pi \sqrt{a}\right)}{2 (a-b)}$$

Answer 2

Usa la fracción parcial para descomponer la suma $S$ en dos sumas de la forma $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2-a}$, luego utiliza el hecho de que $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2-a} = \frac{-1-\sqrt{a}\pi \cot(\sqrt{a}\pi)}{2a}$$

Answer 3

Tenemos $\psi(a+1)=\frac{1}{a}+\psi(a)$ y $\psi(a)-\psi(1-a) = -\pi\cot(\pi a)$ ya que

$$\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x),\qquad \Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}$$ y $\psi(x)=\frac{d}{dx}\log\Gamma(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$.
Esto explica inmediatamente la forma trigonométrica mostrada por Claude Leibovici.