Valor Esperado de una RV con una FCD que Contiene un Ruptura

Question

Sea $X$ una v.a. extraída de una función de distribución acumulada $F(x)$ con un soporte $[0,a]\cup[b,1]$, donde $0

$$\Pr[x \leq c]E[x|x \leq c]?$$

Mi intento: \begin{align} \begin{split} \Pr[x\leq c]E[x|x\leq c] &= \Pr[x\leq a]E[x|x\leq a] + \Pr[b\leq x\leq c]E[x|b\leq x\leq c] \end{split} \end{align}

Answer 1

En primer lugar, tenemos $ \mathbb{P}[X \leq c] = F(c) $, por definición de la función de distribución acumulada (CDF). En segundo lugar, calculamos el valor esperado de $X$ bajo la condición $X\leq c$. Para hacerlo, utilizamos la integración por partes y las propiedades de la CDF: \begin{aligned} \mathbb{E}[X | X \leq c] &= \int_0^a x F'(x)\, \mathrm{d}x + \int_b^c x F'(x)\, \mathrm{d}x \, ,\\ &= a F(a) - \int_0^a F(x)\, \mathrm{d}x + cF(c) - bF(b) - \int_b^c F(x)\, \mathrm{d}x \, ,\\ &= cF(c) + (a-b)F(a) - \int_0^a F(x)\, \mathrm{d}x - \int_b^c F(x)\, \mathrm{d}x \, . \end{aligned}