Sea $M$ una variedad compacta orientada y sea $C$ una subvariedad de $M$. Denotamos por $i : C \rightarrow M$ la inclusión de $C$ en $M$ y por $i^*$ la retrotracción de $i$.
Sea $\alpha$ una forma diferencial suave en . ¿Se cumple la siguiente igualdad?
$$ \int_C i^*(\alpha) = \int_M \alpha .$$
¡Gracias!
Normalmente, la integral de una forma solo es distinta de cero para formas de dimensión igual a la de la variedad. Por ejemplo, cuando integramos (de soporte compacto) $n-$formas $\omega$ en una variedad $n-$manifold $M$. Si tomamos una subvariedad $N$ de $M$ de dimensión $k, incluida por $i:N\to M$, entonces $i^*\omega$ es una $n-$forma en $N$. Por lo tanto, la integral es cero por convención.
En particular, si $\int_M\omega\ne 0$, entonces $\int_N i^*\omega\ne \int_M \omega$ en este caso.
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