Transversalidad de la sección

Question

Sea $M^n$ una variedad diferenciable y $\pi\colon E\to M$ es un haz vectorial de dimensión $n$ sobre $M$.

Tenemos una sección cero $s\colon M\to E$ de $\pi.

¿Cómo puedo hacer una sección $s'$ que sea transversal a $s$? (es decir, $s'$ se anula finitas veces en $s).

(En algún texto, parece incluso posible hacer que $s$ y $s'$ sean isotópicas).

Necesito esto para interpretar la clase de Euler de $\pi$, $\chi(\pi)$ como un número de intersección algebraico de $s$ y $s'

¿Hay alguien que pueda darme alguna referencia?

Answer 1

Esta es una aplicación directa del teorema de transversalidad, que básicamente establece que podemos hacer que un mapa sea transversal a una subvariedad con una perturbación arbitrariamente pequeña. Es una consecuencia del teorema de Morse-Sard.

La afirmación que necesitas es la siguiente:

Teorema. Sean $A$, $B$ subvariedades de $\mathcal{C}^r$ de $M$, $1 \leq r \leq \infty$. Entonces, todo entorno de la inclusión $i_B \colon B \to M$ en $\mathcal{C}^r(B, M)$ contiene una incrustación que es transversal a $A$.

Para una demostración, consulta [Hirsch, Topología Diferencial, Teo. 2.4 pág. 78].