Resolver la ecuación exponencial

Question

Encuentra el número de raíces para $e^x = ax^2$ para todos los valores de $a$. (x es real y también lo es $a$). He intentado algunas cosas pero estoy atascado.

Answer 1

Para $a>0$, las raíces pueden expresarse en términos de la función de Lambert $W$:

\begin{align} a x^2&=\exp(x) \\ x^2\exp(-x)&=\frac{1}{a} \\ x\exp(-\frac{x}{2})&=\pm\frac{1}{\sqrt{a}} \\ -\frac{x}{2}\exp(-\frac{x}{2})&=\mp\frac{1}{2\sqrt{a}} \\ -\frac{x}{2}&=\mathrm{W}\left( \mp\frac{1}{2\sqrt{a}} \right)\\ x&=-2\mathrm{W}\left( \mp\frac{1}{2\sqrt{a}} \right) \end{align}

Por lo tanto, $\forall a>0$ siempre hay una raíz real negativa $x_1=-2\mathrm{W_0}\left(\frac{1}{2\sqrt{a}} \right)$. Y dado que la función de Lambert $W(u)$ tiene dos ramas reales para $-\exp(-1)

\begin{align} x_2&=-2\mathrm{W_0}\left(-\frac{1}{2\sqrt{a}} \right), \\ x_3&=-2\mathrm{W_{-1}}\left(-\frac{1}{2\sqrt{a}} \right) \end{align} para $a>\exp(2)/4$.

También, cuando $a=\exp(2)/4$ entonces $x_2=x_3$ y hay dos raíces reales en total.

Resumiendo, el número $n$ de raíces reales para $\exp(x) = a x^2$: \begin{align} n&= \begin{cases} 0,\quad a\le0 \\ 1,\quad 0\exp(2)/4 \\ \end{cases}. \end{align}

Answer 2

Estoy suponiendo que estás buscando las raíces en toda la recta real. Ten en cuenta que $f(x)=e^x-ax^2$ es una función continua en su dominio, pero más importante aún es que el dominio es un conjunto conectado. ¿Suena como el teorema del valor intermedio?