Descubre si la transformación es lineal, si es así, determina si es un isomorfismo.

Question

Hola, sé cómo mostrar que esto es una transformación lineal. Pero no estoy seguro de cómo averiguar si es isomórfico. Intenté realizar la transformación con M = (a, b, c, d).

Cuando multiplico esto, obtengo una matriz (-2a, -3b, -c, -2d).

¿Es esto isomórfico porque la base de este espacio es de 4 dimensiones: (-2, 0, 0, 0); (0, -3, 0, 0); (0, 0, -1, 0); (0, 0, 0, -2)? ¿Significa que si la matriz que obtuve al multiplicar esto fuera algo como (a, 0 , b, c), significaría un núcleo de 1, y por lo tanto no sería isomórfico?

¡Gracias!

Answer 1

Pista: considera $M$ como una matriz genérica $2×2$ y muestra que $\ker T=0$ entonces $M=0$ Edit: Considera $$M= \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} $$ Para encontrar $\ker T$ $T(M)=\text{matriz nula}$ Si encuentras que $a=b=c=d=0$, entonces $M$ es la matriz nula y el $\ker$ es cero