Kunneth fórmula para motivic cohomology

Question

Me preguntaba cuando la Kunneth fórmula sostiene para motivic cohomology: $$ H^p(X,a(\alpha)) = \bigoplus_{i+j=p;\beta+\gamma = \alpha} H^j(X,a(\beta)) \otimes H^i(X,A(\gamma)) $$ donde $H^p(X,A(\alpha))$ se define como usted desee: por el aumento de los grupos de Chow, Hom grupos en $DM(X)$, etc... El caso que más me interesa es $A= \mathbb{Q}$ $M(X) \in DM(\mathbb{Q})_{\mathbb{Q}}$ en el espesor de la sub-triangagulated categoría generados por la $\mathbb{Q}(n)$, $n\in \mathbb{Z}$.

Answer 1

Ahora me recuerda un buen argumento, ¿por qué no hay Kunneth fórmula para Chow grupos de $X \times X$ si $X$ tiene un Tate motivo. Deje $X$ ser suave proyectivo de dimensión $d$. Empezamos con una descomposición de la diagonal: $$ [\Delta] = \sum_{i,j} \alpha^i_j \beta^{d-i}_j \en \oplus_i CH^i(X) \otimes CH^{d-i}(X) $$ Podemos suponer $\alpha^i_j$ son linealmente independientes. En este caso podemos ver que $\alpha^i_j$ formulario de una base de Chow grupos y $\beta^{d-i}_j$ es la base dual.

De hecho, como una correspondencia $[\Delta]$ actúa como identidad en grupos de Chow, así que, para cualquier clase c, $$c = [\Delta]c = \sum_{i,j} \alpha^i_j deg(\beta^{d-i}_j \cup c),$$ y la afirmación de la siguiente manera, si sustituimos $c = \alpha^i_j$.

Ahora $CH_i(X) = Hom(\mathbb Z(i)[2i], M(X))$ y podemos considerar el conjunto de $\alpha^i_j$ como morfismos de motivos $$\oplus_{i,j}\mathbb Z(i)[2i] \to M(X).$$ Un simple cálculo muestra que es un isomorfismo con la inversa dada por $\beta^i_j$.

Y, por supuesto, por otro lado, si $X$ tiene un Tate motivo, a continuación, Kunneth fórmula para Chow grupos de la siguiente manera (que no responde a la pregunta, ya que yo sólo considerar suave variedades proyectivas).

Answer 2

Yo no lo creo; por ejemplo, si X es la Especificación(Q), esto no parece ser cierto. Si se define, para cualquier $Y$ en esta gruesa subcategoría, $\mathbb{H}(Y)$ a ser el bigraded anillo de $\oplus H^s(Y, \mathbb{Q}(t))$, entonces yo esperaría que haya una secuencia espectral de la forma $$ {\rm Tor}^{{\mathbb H}({\rm Spec} \mathbb{Q}))}(\mathbb{H}(X),\mathbb{H}(X)) \Rightarrow \mathbb{H}(X \X veces) $$ en su lugar, es decir, usted debe tomar el módulo de la estructura sobre la motivic cohomology de un punto en cuenta en la parte derecha de la fórmula que se propone.

Answer 3

Me corrija si estoy equivocado. Creo que aquí es cómo va. Para cualquier $X$ y cualquier Tate motivo $M$, hay un isomorfismo de los módulos a través de $H^{\*,\*}(Spec F)$: $$H^{\*,\*}(M(X) \otimes M) = H^{\*,\*}(X) \otimes_{H^{\*,\*}(Spec F)} H^{\*,\*}(M).$$

Observaciones.

1. Lado derecho tiene sentido, ya que $H^{\*,\*}(M)$ es de hecho un módulo sobre $H^{\*,\*}(Spec F)$

2. Al $M = M(\mathbf P^n)$, este es el de la declaración de la proyectiva paquete teorema.

3. Es claro para mí cómo escribir los términos individuales $H^{p,q}(M(X) \otimes M)$ condiciones de cohomology $M(X)$$M$.

Para probar el teorema en este formulario es suficiente para considerar el caso de $M = \mathbf Q(n)$. Tenga en cuenta que $H^{\*,\*}(\mathbf Q(n))$ $H^{\*,\*}(Spec F)$ con bidegree desplazado por (0,n), por lo tanto tensoring con este módulo es el mismo que el desplazamiento de la bidegree por (0,n). Y lo mismo es en el lado izquierdo, de acuerdo a Voevodsky de Cancelación del Teorema.

Answer 4

Muy brevemente, yo creo que el siguiente es verdadero: Motivic cohomology no satisface una Kunneth fórmula en el nivel de cohomology grupos, pero no es satisfacer una especie de Kunneth fórmula en el nivel de algunos adecuado derivado de la categoría de las poleas. Esto debe ser cierto en general para cualquier Bloch-Ogus cohomology de la teoría, creo.

Answer 5

Did you mean $H^p(X \times X, A(\alpha) = \dots$?

Estoy bastante seguro de que Kunneth fórmula no es para motivic cohomology en general. Creo que voy a obtener la declaración errónea, incluso cuando usted se especializan para el caso del grupo de Picard de un producto de dos curvas de género > 0.

Sin embargo, en la Tate de motivos sobre $\mathbf Q$ probaby sí. Parece que es suficiente para comprobar el caso de $\mathbf{P^n}$ para que motivic cohomology "coincidir" con la habitual cohomology.