Distancia entre el incentro y el excentro de un triángulo

Question

No puedo llegar a ninguna parte con respecto a la distancia entre el incentro y un excentro de $\triangle ABC$. Sé que se generaliza de la siguiente manera: <\p>

$$IJ_c=c\sec\left(\frac C2\right)$$ Para el incentro $I$ y el excentro $J_c$, donde el lado $c$ es opuesto a $\angle C$.

Pero ¿cómo puedo probar esto? Por favor, ayúdame.

Answer 1

Considere este diagrama:

Tenga en cuenta que la distancia entre $I$ y $E_c$ es simplemente: $$d=E_cC-IC\tag{1}$$

Y tenemos: $$\cos \left(\frac C2\right)=\frac{KC}{E_cC}\implies E_cC=\frac{KC}{\cos(C/2)}\\ \cos\left(\frac C2\right)=\frac{T_bC}{IC}\implies IC=\frac{T_bC}{\cos(C/2)}$$ Sin embargo, sabemos que $T_bC=\frac{b+a-c}2$. Esto hace que $IC=\frac{b+a-c}{2\cos (C/2)}$, y de $(1)$ obtenemos: $$d=\frac{KC}{\cos(C/2)}-\frac{b+a-c}{2\cos(C/2)}\tag{2}$$ Sin embargo, mirando el diagrama, sabemos que $KC=b+E_cA\sin(A/2)$, porque $KC=b+AK$, y $AK$ es fácil de derivar usando la ley de los senos para triángulos rectángulos. Por lo tanto, $(2)$ se convierte en: $$d=\frac{b+E_cA \sin(A/2)}{\cos(C/2)}-\frac{b+a-c}{2\cos(C/2)}\\ \implies d=\frac{b+E_cA\sin(A/2)-\frac{b+a-c}{2}}{\cos (C/2)}$$

Sin embargo, a partir de la declaración original $d=\frac{c}{\cos (C/2)}, lo único que necesitamos demostrar es que:$$b+E_c A\sin(A/2)-\frac{b+a-c}2=c\tag{3}$$

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Puliendo $(3)$ obtenemos: $$b-a+2E_cA\sin(A/2)=c$$ Esto implica que para obtener $c$, necesitamos: $$E_cA\sin (A/2)=\frac{a+c-b}{2}\tag{4}$$

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Desde el diagrama, considere que $\sin (A/2)$, se puede escribir como: $$\frac{\sin(C/2)}{IA}=\frac{\sin (A/2)}{IC}\implies \sin (A/2)=\frac{IC \sin (C/2)}{IA}\tag{5}$$ Ahora, observe que $IT_b$ es esencialmente el inradio, que es igual a: $$r=IT_b=IC \sin (C/2)$$ Sabiendo que el inradio $r$ se puede escribir como (lo cual es fácilmente demostrable): $$r=\frac{ab\sin C}{a+b+c}$$ Usando el valor actualizado de $(5)$, y sustituyéndolo en $(4)$, obtenemos:

$$E_cA\left(\frac{ab\sin C}{(a+b+c)IA}\right)=\frac{a+c-b}2$$ Después de alguna reorganización, obtenemos: $$\frac{E_cA}{IA}=\frac{(a+b+c)(a-b+c)}{2ab\sin C}\tag{6}$$ Ahora, considere el triángulo rectángulo $E_cAI$ y después de un poco de caza de ángulos, obtendrá que $\angle I=\frac{a+c}2$. Note simplemente que $\tan \angle I=\frac{E_cA}{IA}$. Usando esta información, obtenemos: $$\tan\left(\frac{A+C}2\right)=\frac{(a+b+c)(a-b+c)}{2ab\sin C} \tag{7}$$

Expandiendo el RHS, obtenemos: $$\tan\left(\frac{A+C}2\right)=\frac{a^2-b^2+c^2+2ac}{2ab\sin C} \tag{8}$$ Usando la ley del coseno, podemos mostrar que $2ac\cos B=a^2+c^2-b^2$, sustituyendo esto en $(8)$ obtenemos: $$\tan\left(\frac{A+C}2\right)=\frac{2ac\cos B+2ac}{2ab\sin C}=\frac{c(1+\cos B) }{b\sin C}$$ Ahora reemplazando $B=\pi - A-C$, obtenemos: $$\tan\left(\frac{A+C}2\right)=\frac{c(1-\cos{(A+C)})}{b\sin C}$$ Usando la fórmula del semiarco para $\tan$, obtenemos: $$\frac{\sin (A+C)}{1+\cos(A+C)}=\frac{c(1-\cos{(A+C)})}{b\sin C}\\ b\sin(A+C)\sin C=c(1-\cos^2(A+C))\\ b\sin (A+C)\sin C=c(\sin^2(A+C))\\ \sin(A+C)=\frac{b\sin C}{c}$$ Sin embargo, usando la ley de los senos, podemos escribir $b$ como $b=\frac{c \sin B}{\sin C}$, por lo tanto obtenemos: $$\sin(A+C)=\sin B$$ Lo cual siempre es cierto ya que: $$B=\pi-A-C\implies \sin(\pi-A-C)=\sin(A+C)\\ Q.E.D.$$

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Esta prueba fue muy larga, sin embargo. Hay muchas formas de escribir la distancia entre los excentros e incentros. Por ejemplo, tienes: $$d=\frac{r_x-r}{\sin(C/2)}$$ Para el exradio $r_x$ y el radio interno $r$. Además, tienes $d$: $$d=\frac{r}{\sin(\frac A2)\cos(\frac{A+C}2)}$$