¿Cuál es la diferencia entre $\limsup{S_{n}}$, $\liminf{S_{n}}$ y $\lim{S_{n}}$

Question

Possible Duplicate:
Límite supremo e ínfimo. Luchando con el concepto

Hey estoy tratando de averiguar qué es $\limsup{S_{n}}$ en comparación con $\lim{S_{n}}$ así como la diferencia entre $\lim{S_{n}}$ y $\liminf{S_{n}}$

Por ejemplo (este es mi proceso de pensamiento actual) si tengo una sucesión monótona no creciente $S_{n}:=1/n$ (donde $n=1$ y va hacia infinito). El $\limsup{S_{n}}$ es 1, y $\liminf{S_{n}}$ es 0. Pero sabemos que el $\lim{S_{n}}$ es 0.

¿Cómo es que $\lim{S_{n}}=\liminf{S_{n}}=\limsup{S_{n}}?$

Answer 1

Una definición de $\limsup s_n$ es $$\limsup s_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} s_k$$ La definición correspondiente de $\liminf s_n$ es $$\liminf s_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} s_k$$ En tu caso, donde $s_n = \dfrac1n$, tenemos que $$\sup_{k \geq n} s_k = \sup_{k \geq n} \dfrac1k = \dfrac1n$$ De manera similar, para $\liminf$. Por lo tanto, $$\limsup s_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} s_k = \lim_{n \to \infty} \dfrac1n = 0$$

En general, si $\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_n$ existe, entonces $$\limsup s_n = \lim s_n = \liminf s_n$$

Otra forma de definir $\limsup$ y $\liminf$ es observar los puntos límite de la secuencia $s_n$, es decir, si $$S = \{\text{Puntos límite de la secuencia }s_n\}$$ entonces $$\limsup s_n = \displaystyle \sup_{s \in S} S$$ y $$\liminf s_n = \displaystyle \inf_{s \in S} S$$ Si $s_n = \dfrac1n$, entonces $S = \{0 \}$. Por lo tanto, $$\limsup s_n = 0 = \liminf s_n$$

Answer 2

$\limsup S_n$ de $x_n$ es el punto de acumulación más grande de $x_n$ si la secuencia está acotada por encima. $\liminf S_n$ es el punto de acumulación más pequeño si es una secuencia acotada por debajo.

Si una secuencia converge a algún $x$, entonces cada subsecuencia también converge a $x$. Esto es (más simplemente) como lim$S_n$ = limsup$S_n$. La secuencia de 1/n converge a 0, su único punto de acumulación es 0. Así, lim$S_n$ = liminf$S_n$ = limsup$S_n$ = 0.