Processing math: 1%

1 votos

Secuencia convergente, intersección de un conjunto cerrado con un conjunto abierto

Sea A,BRd con A cerrado y B abierto y tal que A\cap B\neq\emptyset. Supongamos que existe una secuencia (x_k)_{k\in\mathbb N}\subseteq\mathbb R^d convergiendo en norma euclidiana a algún x\in A\cap B. ¿Tenemos x_k\in A\cap B para algún k\in\mathbb N? Si x es un punto interior de A entonces por supuesto esto es cierto, ya que B es un conjunto abierto y A contiene una bola alrededor de x de tamaño \varepsilon>0. Entonces la pregunta se vuelve problemática si x\in\partial A (frontera de A).

1voto

Harald Hanche-Olsen Puntos 22964

¡No! Toma A=\{0\} y B=\mathbb{R}^n, x_k=(1/k,0,\ldots,0).

Más generalmente, sea x un punto no interior en A. Para cada n, elige x_n con |x_n-x|<1/n, x_n\notin A, y x_n\in B (esto último es automático cuando n es suficientemente grande).

1voto

fgp Puntos 15322

Sea x_i = (1 + \frac{1}{i},0), sea A la bola unitaria cerrada y B alguna bola abierta pequeña alrededor de (1,0). (x_i)_{i\in\mathbb{N}} converge a (1,0) \in A \cap B, sin embargo ninguno de los x_i está en A y, por lo tanto, no en A \cap B. La respuesta es, por lo tanto, no.

0voto

Bernhard Hofmann Puntos 4741

Para un contraejemplo toma A=[-1,0], \ B=(-1,1) \subseteq \mathbb{R} y x_n=\frac{1}{n}.

Esta secuencia (x_n)\to 0 \in A \cap B pero x_n \not \in (-1,0]=A \cap B, \ \forall n \in \mathbb{N}

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X