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Secuencia convergente, intersección de un conjunto cerrado con un conjunto abierto

Sea A,BRd con A cerrado y B abierto y tal que AB. Supongamos que existe una secuencia (xk)kNRd convergiendo en norma euclidiana a algún xAB. ¿Tenemos xkAB para algún kN? Si x es un punto interior de A entonces por supuesto esto es cierto, ya que B es un conjunto abierto y A contiene una bola alrededor de x de tamaño ε>0. Entonces la pregunta se vuelve problemática si xA (frontera de A).

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Harald Hanche-Olsen Puntos 22964

¡No! Toma A={0} y B=Rn, xk=(1/k,0,,0).

Más generalmente, sea x un punto no interior en A. Para cada n, elige xn con |xnx|<1/n, xnA, y xnB (esto último es automático cuando n es suficientemente grande).

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fgp Puntos 15322

Sea xi=(1+1i,0), sea A la bola unitaria cerrada y B alguna bola abierta pequeña alrededor de (1,0). (xi)iN converge a (1,0)AB, sin embargo ninguno de los xi está en A y, por lo tanto, no en AB. La respuesta es, por lo tanto, no.

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Bernhard Hofmann Puntos 4741

Para un contraejemplo toma A=[1,0], B=(1,1)R y xn=1n.

Esta secuencia (xn)0AB pero xn(1,0]=AB, nN

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