Secuencia convergente, intersección de un conjunto cerrado con un conjunto abierto

Question

Sea $A,B\subseteq\mathbb R^d$ con $A$ cerrado y $B$ abierto y tal que $A\cap B\neq\emptyset$. Supongamos que existe una secuencia $(x_k)_{k\in\mathbb N}\subseteq\mathbb R^d$ convergiendo en norma euclidiana a algún $x\in A\cap B$. ¿Tenemos $x_k\in A\cap B$ para algún $k\in\mathbb N$? Si $x$ es un punto interior de $A$ entonces por supuesto esto es cierto, ya que $B$ es un conjunto abierto y $A$ contiene una bola alrededor de $x$ de tamaño $\varepsilon>0$. Entonces la pregunta se vuelve problemática si $x\in\partial A$ (frontera de $A$).

Answer 1

¡No! Toma $A=\{0\}$ y $B=\mathbb{R}^n$, $x_k=(1/k,0,\ldots,0)$.

Más generalmente, sea $x$ un punto no interior en $A$. Para cada $n$, elige $x_n$ con $|x_n-x|<1/n$, $x_n\notin A$, y $x_n\in B$ (esto último es automático cuando $n$ es suficientemente grande).

Answer 2

Sea $x_i = (1 + \frac{1}{i},0)$, sea $A$ la bola unitaria cerrada y $B$ alguna bola abierta pequeña alrededor de $(1,0)$. $(x_i)_{i\in\mathbb{N}}$ converge a $(1,0) \in A \cap B$, sin embargo ninguno de los $x_i$ está en $A$ y, por lo tanto, no en $A \cap B$. La respuesta es, por lo tanto, no.

Answer 3

Para un contraejemplo toma $A=[-1,0], \ B=(-1,1) \subseteq \mathbb{R}$ y $x_n=\frac{1}{n}$.

Esta secuencia $(x_n)\to 0 \in A \cap B$ pero $x_n \not \in (-1,0]=A \cap B, \ \forall n \in \mathbb{N} $