¿Está establecido $A=[0,1]^2\cap\mathbb{Q}^2$ medible de Lebesgue?

Question

Estoy confundido por la noción de conjuntos medibles en la teoría de la medida.

Si tomamos un conjunto $A=[0,1]^2\cap\mathbb{Q}^2$, ¿sería medible respecto a Lebesgue?

Por un lado: si es medible, entonces la medida exterior $\lambda^*(A)=\lambda(A)$. Y el rectángulo mínimo que cubre el conjunto $A$ es $[0,1]^2$, lo que significa que $\lambda^*(A)=1$. Entonces $\lambda(A)=1$.

Pero por otro lado: $A$ es simplemente una unión numerable de conjuntos medibles con medida $0$, por lo que $\lambda(A)=0$

Answer 1

No es un solo rectángulo que estás buscando para cubrir el conjunto, es una unión de pequeños rectángulos. Debido a que los números racionales son contables, puedes cubrirlos con una colección contable de rectángulos, el primero de tamaño $\frac \epsilon 2$, el segundo $\frac \epsilon 4$, etc., y esa serie geométrica suma $\epsilon$. Por lo tanto, puedes cubrir los racionales en ese rectángulo con una colección de conjuntos abiertos tan pequeña como desees, por lo tanto, tiene tamaño 0

Answer 2

Hay una bonita intuición semi-rigurosa y probabilística para responder a este tipo de preguntas. La única suposición que necesitas hacer es que $Q$ es medible, lo cual creo que si estás haciendo la pregunta entonces ya deberías saber que lo es.

La intuición es la siguiente: Si elijo un número real al azar, ¿cuál es la probabilidad de elegir un número racional? Deberías saber rigurosamente, y con suerte intuitivamente, que la respuesta es $0$. ¿Y si quiero que mi número racional también esté entre $0$ y $1$? Bueno, claramente sea cual sea la probabilidad de este evento, debería ser menor que elegir cualquier número racional, así que esto también debe ser $0$.

Ahora, ¿cuál es la probabilidad de elegir INDEPENDIENTEMENTE DOS números racionales entre $0$ y $1$? Bueno, como los eventos son independientes, es solo el producto de las probabilidades individuales, así que $0\times 0 = 0$.

Esta es una intuición que debería convencerte de una respuesta, así al menos sabrás qué dirección tomar al responder. Recuerda que la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad fueron diseñadas en cierto sentido para resolver problemas fundamentales como estos, y la intuición básica es realmente útil cuando no te alejas demasiado de los problemas fundamentales.