Tenemos dos vectores a, b que encierran un ángulo \phi\in[0,\pi], y se nos dice que hay que demostrar que {1\over2}|a-b|^2-{1\over\pi}|a|\,|b|\sin\phi+|a|\,|b|\cos\phi\,{\phi\over\pi}\geq c|a-b|^2 para un c>0 universal. Esta afirmación se puede escribir como |a|\,|b|{\sin\phi-\phi\cos\phi\over\pi}\leq\left({1\over2}-c\right)|a-b|^2\ . Ahora se puede verificar (dibujando las gráficas) que 0\leq{\sin\phi-\phi\cos\phi\over\pi}\leq{1\over2}(1-\cos\phi)\qquad(0\leq\phi\leq\pi)\ . Por lo tanto, es suficiente probar {1\over2}|a|\,|b|(1-\cos\phi)\leq\left({1\over2}-c\right)|a-b|^2\ .\tag{1} Nótese que por el teorema del coseno |a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a|\,|b|\cos\phi=\bigl(|a|-|b|\bigr)^2+2|a|\,|b|(1-\cos\phi)\ . Esto demuestra que {1\over2}|a|\,|b|(1-\cos\phi)\leq{1\over4}|a-b|^2\ , por lo que (1) es verdad con c={1\over4}.