¿Existe alguna constante $c$ que satisfaga la desigualdad

Question

¿Existe alguna constante positiva $c\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a,b\in \mathbb{R}^n$ no nulos,

$$\frac{1}{2}\|a-b\|^2-\frac{1}{\pi}\sqrt{\|a\|^2\|b\|^2-\langle a,b\rangle^2}+\langle a,b\rangle\frac{\cos^{-1}(\rho)}{\pi}\geq c\|a-b\|^2$$

donde $\rho=\frac{\langle a,b\rangle}{\|a\|\,\|b\|}$.

He comprobado casos extremos donde $a,b$ son ortogonales o en la misma u opuestas direcciones. Parece que hay un $c$ positivo que cumple con la desigualdad anterior.

Answer 1

Tenemos dos vectores $a$, $b$ que encierran un ángulo $\phi\in[0,\pi]$, y se nos dice que hay que demostrar que $${1\over2}|a-b|^2-{1\over\pi}|a|\,|b|\sin\phi+|a|\,|b|\cos\phi\,{\phi\over\pi}\geq c|a-b|^2$$ para un $c>0$ universal. Esta afirmación se puede escribir como $$|a|\,|b|{\sin\phi-\phi\cos\phi\over\pi}\leq\left({1\over2}-c\right)|a-b|^2\ .$$ Ahora se puede verificar (dibujando las gráficas) que $$0\leq{\sin\phi-\phi\cos\phi\over\pi}\leq{1\over2}(1-\cos\phi)\qquad(0\leq\phi\leq\pi)\ .$$ Por lo tanto, es suficiente probar $${1\over2}|a|\,|b|(1-\cos\phi)\leq\left({1\over2}-c\right)|a-b|^2\ .\tag{1}$$ Nótese que por el teorema del coseno $$|a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a|\,|b|\cos\phi=\bigl(|a|-|b|\bigr)^2+2|a|\,|b|(1-\cos\phi)\ .$$ Esto demuestra que $${1\over2}|a|\,|b|(1-\cos\phi)\leq{1\over4}|a-b|^2\ ,$$ por lo que $(1)$ es verdad con $c={1\over4}$.

Answer 2

Su desigualdad es equivalente a encontrar $c\ge 0$ tal que para todo $\theta $, $$ \|a\|\|b\|\cos(\theta)\theta\geq \|a\|\|b\|\sin(\theta)+{\pi}(c-0.5)||a-b||^2$$ ($\langle a,b\rangle=\|a\|\|b\|\cos(\theta)$) así que la desigualdad debe cumplirse con $c=0$

$\|a-b\|^2=\|a\|^2+\|b\|^2-2\|a\|\|b\|\cos(\theta)$ reemplazando obtendríamos $$\|a\|\|b\|(\sin(\theta)-\theta\cos(\theta)+\pi\cos(\theta))\le \frac{\pi}{2}(\|a\|^2+\|b\|^2)$$ así que por la desigualdad AGM para $\|a\|=\|b\|$ necesitamos $\sin(\theta)-\theta\cos(\theta)+\pi\cos(\theta)-\pi\le 0$ lo cual no es cierto para todos los $\theta$.