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¿Existe alguna constante c que satisfaga la desigualdad

¿Existe alguna constante positiva c\in \mathbb{R} tal que para cualquier a,b\in \mathbb{R}^n no nulos,

\frac{1}{2}\|a-b\|^2-\frac{1}{\pi}\sqrt{\|a\|^2\|b\|^2-\langle a,b\rangle^2}+\langle a,b\rangle\frac{\cos^{-1}(\rho)}{\pi}\geq c\|a-b\|^2

donde \rho=\frac{\langle a,b\rangle}{\|a\|\,\|b\|}.

He comprobado casos extremos donde a,b son ortogonales o en la misma u opuestas direcciones. Parece que hay un c positivo que cumple con la desigualdad anterior.

2voto

CodingBytes Puntos 102

Tenemos dos vectores a, b que encierran un ángulo \phi\in[0,\pi], y se nos dice que hay que demostrar que {1\over2}|a-b|^2-{1\over\pi}|a|\,|b|\sin\phi+|a|\,|b|\cos\phi\,{\phi\over\pi}\geq c|a-b|^2 para un c>0 universal. Esta afirmación se puede escribir como |a|\,|b|{\sin\phi-\phi\cos\phi\over\pi}\leq\left({1\over2}-c\right)|a-b|^2\ . Ahora se puede verificar (dibujando las gráficas) que 0\leq{\sin\phi-\phi\cos\phi\over\pi}\leq{1\over2}(1-\cos\phi)\qquad(0\leq\phi\leq\pi)\ . Por lo tanto, es suficiente probar {1\over2}|a|\,|b|(1-\cos\phi)\leq\left({1\over2}-c\right)|a-b|^2\ .\tag{1} Nótese que por el teorema del coseno |a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a|\,|b|\cos\phi=\bigl(|a|-|b|\bigr)^2+2|a|\,|b|(1-\cos\phi)\ . Esto demuestra que {1\over2}|a|\,|b|(1-\cos\phi)\leq{1\over4}|a-b|^2\ , por lo que (1) es verdad con c={1\over4}.

-1voto

Toni Mhax Puntos 76

Su desigualdad es equivalente a encontrar c\ge 0 tal que para todo \theta , \|a\|\|b\|\cos(\theta)\theta\geq \|a\|\|b\|\sin(\theta)+{\pi}(c-0.5)||a-b||^2 (\langle a,b\rangle=\|a\|\|b\|\cos(\theta)) así que la desigualdad debe cumplirse con c=0

\|a-b\|^2=\|a\|^2+\|b\|^2-2\|a\|\|b\|\cos(\theta) reemplazando obtendríamos \|a\|\|b\|(\sin(\theta)-\theta\cos(\theta)+\pi\cos(\theta))\le \frac{\pi}{2}(\|a\|^2+\|b\|^2) así que por la desigualdad AGM para \|a\|=\|b\| necesitamos \sin(\theta)-\theta\cos(\theta)+\pi\cos(\theta)-\pi\le 0 lo cual no es cierto para todos los \theta.

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