¿Cómo encontrar el tensor de inercia de un anillo circular a partir del momento angular y la velocidad angular?

Question

Considera un anillo circular delgado con un radio $R$ y un eje de rotación como se muestra en la figura. Si $\vec{L}$ denota el momento angular y $\vec{w}$ es la velocidad angular, entonces

$$\vec{L}=\begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix} \vec{w}$$

Donde la matriz también se llama tensor de momento de inercia.

Mi pregunta:-

¿Es posible encontrar el momento de inercia de este anillo a lo largo del eje dado usando la ecuación que mencioné?

Answer 1

La matriz MMOI perfectamente alineada para un anillo que gira alrededor del eje y es

$$\mathcal{I} = \begin{bmatrix} \frac{m}{2} \left( \frac{h^2}{2} + r^2 + \frac{w^2}{4} \right) & & \\ & \frac{m}{2} \left( 2 r^2 + \frac{w^2}{2} \right) & \\ & & \frac{m}{2} \left( \frac{h^2}{2} + r^2 + \frac{w^2}{4} \right) \end{bmatrix}$$

donde $r$ es el radio del centroide de la sección, $w$ es el ancho a lo largo del eje x, y $h$ es la altura a lo largo del eje y.

Como puedes ver, el elemento de la esquina superior izquierda es igual al elemento de la esquina inferior derecha.

Ahora, si se conoce el momento angular, incluso si la matriz MMOI es diagonal, aún no hay información suficiente para extraer la geometría a continuación

$$\begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{bmatrix} = \mathcal{I} \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}$$

Esto se debe a que la relación del momentum a lo largo del eje x y z es

$$\frac{L_x}{L_z} = \frac{\omega_x}{\omega_z}$$

y todos los términos de geometría se cancelan mutuamente.

Pero si conocemos el ancho $w$, entonces podemos resolver las ecuaciones de momentum para

$$\begin{aligned} r & = \sqrt{ \frac{L_y}{m \omega_y} - \frac{w^2}{4} } \\ h & = \sqrt{ \frac{4 L_x}{m \omega_x} - \frac{2 L_y}{m \omega_y} } \end{aligned}$$

Answer 2

¿Ahora es posible encontrar el momento de inercia de este anillo a lo largo del eje dado usando la ecuación que mencioné?

En general, no se puede determinar el tensor de inercia a partir de los vectores del momento angular y la velocidad angular. Hay 6 incógnitas y solo 3 ecuaciones lineales. Puedes reescribir la ecuación para el momento angular

$$\left[ \begin{array}{cccccc} \omega_x & 0 & 0 & \omega_y & 0 & \omega_z \\ 0 & \omega_y & 0 & \omega_x & \omega_z & 0 \\ 0 & 0 & \omega_z & 0 & \omega_y & \omega_x \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_{xx} \\ I_{yy} \\ I_{zz} \\ I_{xy} \\ I_{yz} \\ I_{zx} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} L_x \\ L_y \\ L_z \end{array} \right] \tag 1$$

¿Qué dice el álgebra lineal - ¿tiene la ecuación anterior una solución única en el vector $I$? Lo mejor que puedes hacer aquí es expresar 3 momentos de inercia como función de otros 3 momentos de inercia. Esto significa que si se conocen al menos 3 momentos de inercia, se pueden determinar los momentos de inercia restantes.

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Objeto es simétrico respecto a todos los ejes

Si el objeto es simétrico en todos los ejes, entonces todos los productos de inercia son cero ($I_{xy}$, $I_{yz}$, y $I_{zx}$). Con esto, la Ec. (1) se convierte en

$$\left[ \begin{array}{cccccc} \omega_x & 0 & 0 \\ 0 & \omega_y & 0 \\ 0 & 0 & \omega_z \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_{xx} \\ I_{yy} \\ I_{zz} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} L_x \\ L_y \\ L_z \end{array} \right] \tag 2$$

y los momentos de inercia son

$$\left[ \begin{array}{c} I_{xx} \\ I_{yy} \\ I_{zz} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccccc} \omega_x & 0 & 0 \\ 0 & \omega_y & 0 \\ 0 & 0 & \omega_z \\ \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{c} L_x \\ L_y \\ L_z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} L_x/\omega_x \\ L_y/\omega_y \\ L_z/\omega_z \end{array} \right] \tag 3$$

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Momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del círculo

Aquí muestro cómo encontrar el momento de inercia de un anillo circular uniforme sobre un eje que pasa por el centro del círculo y es perpendicular a la superficie del anillo

$$I = \iiint r^2 dm = \iiint r^2 \rho dV = \int_{z=-t/2}^{z=t/2} \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{r-\Delta r}^{r} r^2 \rho r dr d\phi dz = 2\pi t \rho \int_{r-\Delta r}^{r} r^3 dr$$

donde $t$ es el grosor del anillo. La integral anterior resulta en

$$I = 2\pi t \rho \frac{1}{4} \Bigl. r^4 \Bigr|_{r-\Delta r}^{r} = \frac{1}{2} \underbrace{\bigl( r^2 - (r-\Delta r)^2 \bigr) \pi t \rho}_{M} \bigl( r^2 + (r-\Delta r)^2 \bigr) =$$

$$= \frac{1}{2} M \bigl( 2r^2 - 2r\Delta r + (\Delta r)^2 \bigr) = M r^2 \Bigl(1 - \bigl(\frac{\Delta r}{r}\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(\frac{\Delta r}{r}\bigr)^2 \Bigr)$$

donde $M$ es la masa del anillo. Para $r \gg \Delta r$, la expresión anterior se simplifica a $I \approx Mr^2$.