Estimación de la integral de línea de la función O(x^n)

Question

Sea $f$ una función analítica en algún sector del plano complejo que se comporta como $$f(z)=\mathcal O(z^n)$$ para algún $n$ a medida que $z\to\infty$. ¿Se puede demostrar en general que las integrales de línea de $f$ (en este sector) se comportan como $$\int_{z_0}^z f(w)dw=\mathcal O(z^{n+1})$$ ?

Espero que la pregunta esté planteada lo suficientemente clara. ¡Muchas gracias a todos de antemano!

Saludos, Frank

Answer 1

Las integrales son monótonas, por lo que dado que $|f(z)|\le M|z^n|$ tenemos para una trayectoria razonable $\gamma$ desde $z_0$ hasta $z$:

$$\left|\int_\gamma f(z)\right|\le\int_\gamma |f(z)|\le M\int_\gamma |z^n|\le M'|z|^{n+1}$$